Дилогари́фм — специальная функция в математике, которая обозначается и является частным случаем полилогарифма при . Дилогарифм определяется как
Приведённое определение дилогарифма верно для комплексных значений переменной . Для действительных значений у этой функции есть разрез вдоль действительной оси от до . Обычно значение функции на разрезе определяется так, что мнимая часть дилогарифма отрицательна:
Функцию часто называют дилогарифмом Эйлера, в честь Леонарда Эйлера, который рассмотрел эту функцию в 1768 годуLeonhard Euler, Institutiones calculi integrals. Иногда дилогарифм называют функцией Спенса (Spence's function) или интегралом Спенса в честь шотландского математика Уильяма Спенса (William Spence, 1777—1815), который в начале XIX века исследовал функции, соответствующие и . Название "дилогарифм" было введено Хиллом (C.J. Hill) в 1828 году.
Функциональные соотношения
Для дилогарифма существует ряд полезных функциональных соотношений,
(тождество Ландена)
(формула отражения Эйлера)
(формула инверсии)
Для действительных ,
Для действительных ,
Известны также соотношения, содержащие две независимые переменные — например, тождество Хилла:
Частные значения
Используя соотношение между функциями от и , получаем
Существует также ряд результатов для аргументов, связанных с золотым сечением ,
а также для дилогарифма мнимого аргумента,
где — постоянная Каталана.
Соотношения для частных значений
Прочие свойства
Функции, связанные с дилогарифмом
Функция Клаузена Возникает при рассмотрении дилогарифма, аргумент которого находится на единичной окружности в комплексной плоскости,
Таким образом,
Функция Лобачевского Эта функция используется при вычислении объёмов в гиперболической геометрии, и она связана с функцией Клаузена (а следовательно и с дилогарифмом),
Иногда используется другое определение функции Лобачевского,
Интегральный арктангенс Возникает при рассмотрении дилогарифма мнимого аргумента,
Таким образом,
Функция Лежандра Эта функция выражается через дилогарифмы как
В частности, .
Примечания
Ссылки
Don Zagier, The dilogarithm function (PDF)
Категория:Специальные функции Категория:Логарифмы