Тригамма-функция в математике является второй из полигамма-функций. Она обозначается и определяется как
где — гамма-функция. Из этого определения следует, что
где — дигамма-функция (первая из полигамма-функций).
Тригамма-функцию можно также определить через сумму следующего ряда:
откуда видно, что она является специальным случаем дзета-функции Гурвица (),
Эти формулы верны, когда (в указанных точках функция имеет квадратичные сингулярности, см. график функции).
Существуют также другие обозначения для , используемые в литературе:
Иногда термин «тригамма-функция» употребляется для функции .
Интегральные представления
Используя представление в виде ряда, а также формулу для суммы членов геометрической прогрессии, можно получить следующее двойное интегральное представление:
С помощью интегрирования по частям получается следующее однократное представление:
Используется также другое представление, которое может быть получено из предыдущего заменой x = e—t:
Другие формулы
Тригамма-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению
а также формуле дополнения
Для тригамма-функции кратного аргумента существует следующее свойство:
Приведём также асимптотическое разложение с использованием чисел Бернулли:
Частные значения Ниже приведены частные значения тригамма-функции:
где G — постоянная Каталана, а — функция Клаузена, связанная с мнимой частью дилогарифма через
Используя формулу кратного аргумента и формулу дополнения, a также связь с функцией КлаузенаC.C. Grosjean, Formulae concerning the computation of the Clausen integral , J. Comp. Appl. Math. 11 (1984) 331—342P.J. de Doelder, On the Clausen integral and a related integral, J. Comp. Appl. Math. 11 (1984) 325—330, получаем:
Для значений за пределами интервала можно использовать рекуррентное соотношение, приведённое выше. Например,
См. также Гамма-функция Дигамма-функция Полигамма-функция Постоянная Каталана Дзета-функция Гурвица
Примечания
Ссылки Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, , (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. См. раздел §6.4 Eric W. Weisstein, Trigamma Function, MathWorld — mathworld.wolfram.com Eric W. Weisstein, Polygamma Function, MathWorld — mathworld.wolfram.com
Категория:Гамма-функция и связанные функции Категория:Теория чисел