Линейчатая поверхность ― поверхность, образованная движением прямой линии. Прямые, принадлежащие этой поверхности, называются прямолинейными образующими, а каждая кривая, пересекающая все прямолинейные образующие, направляющей кривой.
Если ― радиус-вектор направляющей, a ― единичный вектор образующей, проходящей через , то радиус-вектор линейчатой поверхности есть
где ― координата точки на образующей.
Примеры
Свойства Линейчатая поверхность характеризуется тем, что её асимптотическая сеть ― полугеодезическая. Гауссова кривизна линейчатой поверхности . Теорема Бельтрами. Линейчатую поверхность всегда можно и притом единственным образом изогнуть так, что произвольная линия на ней станет асимптотической. Теорема Бонне. Кроме того, если линейчатая поверхность , не являющаяся развёртывающейся, изгибается в линейчатую поверхность , то либо их образующие соответствуют друг другу, либо обе они изгибаются в квадрику, на которой сеть, соответствующая семействам образующих, ― асимптотическая. Единственная минимальная линейчатая поверхность ― геликоид. Линейчатая поверхность вращения ― однополостный гиперболоид, может быть вырождающейся в цилиндр, конус или плоскость. Существуют примеры гладких линейчатых поверхностей, не допускающих гладких параметризаций вида
Типы Поверхность Каталана — линейчатая поверхность, все прямолинейные образующие которой параллельны одной плоскости. Цилиндрическая поверхность — линейчатая поверхность, все прямолинейные образующие которой параллельны. Коноид — линейчатая поверхность, у которой образующие пересекают фиксированную прямую.
В архитектуре
Вариации и обобщения Поверхности, образованные движением геодезической в метрическом пространстве также называются линейчатыми поверхностями. Классический результат Александрa Даниловичa Александровa утверждает, что линейчатая поверхность в CAT(0) пространстве с индуцированной внутренней метрикой является CAT(0) пространством.А. Д. Александров, Линейчатые поверхности в метрических пространствах , Вестник Ленинградского университета №1, 1957, с. 5—26
Примечания
Литература
Категория:Дифференциальная геометрия поверхностей