Производная Ли тензорного поля по направлению векторного поля — главная линейная часть приращения тензорного поля при его преобразовании, которое индуцировано локальной однопараметрической группой диффеоморфизмов многообразия, порождённой полем .
Названа в честь норвежского математика Софуса Ли.
Обычно обозначается .
Определения
Аксиоматическое
Производная Ли полностью определяется следующими своими свойствами. Такое определение наиболее удобно для практических вычислений, но требует доказательства существования.
Производная Ли от скалярного поля есть производная по направлению .
Производная Ли от векторного поля есть скобка Ли векторных полей. (Производная Ли от поля по направлению поля ).
Для произвольных векторных полей и 1-формы выполняется равенство (тождество Картана)
(правило Лейбница) Для произвольных тензорных полей S и T выполняется
(линейность)
Через поток Пусть — -мерное гладкое многообразие и — векторное поле на .
Рассмотрим поток по , определяемый соотношениями .
Обратное отображение к дифференциалу ,
однозначно продолжается до гомоморфизма алгебры тензоров над в алгебру тензоров над . Таким образом, произвольное тензорное поле определяет однопараметрическое семейство полей . Производная Ли может быть определена как
Выражения в координатах
где — скаляр.
где — вектор, а — его компоненты.
где — 1-форма, а — её компоненты.
где — метрический тензор, а — его компоненты.
Производная Ли для тензорного поля в неголономном репере Пусть тензорное поле К типа (p, q) задано в неголономном репере , тогда его производная Ли вдоль векторного поля Х задаётся следующей формулой:
,
где и введены следующие обозначения:
,
— объект неголономности.
Свойства -линейно по и по . Здесь — произвольное тензорное поле. Производная Ли — дифференцирование на кольце тензорных полей. На супералгебре внешних форм производная Ли является дифференцированием и однородным оператором степени 0. Пусть и — векторные поля на многообразии, тогда есть дифференцирование алгебры , поэтому существует векторное поле , для которого . Это векторное поле называется скобкой Ли полей u и v (также их скобкой Пуассона или коммутатором). Формула гомотопии (тождество Картана):
Здесь — дифференциальная -форма, — оператор внутреннего дифференцирования форм, определяемый как . Как следствие, . Здесь — гладкое сечение (естественного) векторного расслоения (например, любое тензорное поле), — поднятие векторного поля на , — оператор вертикального проектирования на . (См. далее)
Физический смысл производной Ли Пусть векторное поле есть поле скоростей неинерциальной системы отсчёта относительно инерциальной системы отсчёта, то есть в каждой точке пространства в каждый момент времени определена скорость координатных сеток этих систем относительно друг друга. Тогда производная Ли вдоль векторного поля переносит производную по времени от каких-либо тензорных полей из неинерциальной системы отсчёта в инерциальную, тем самым определяя инвариантную производную по времени от тензорных полей.
Обобщения
Естественные расслоения Пусть — естественное гладкое расслоение, то есть функтор, действующий из категории гладких многообразий в категорию расслоений над ними: . Произвольное векторное поле порождает однопараметрическую группу диффеморфизмов , продолжающуюся с помощью на пространство расслоения , то есть . Производная этой группы в нуле даёт векторное поле , являющееся продолжением . Группа также позволяет определить производную Ли по от произвольных сечений по такой же формуле, как и в классическом случае:
Отметим, что в общем случае производная Ли является элементом соответствующего вертикального расслоения , то есть ядра отображения , так как . Если — векторное расслоение, то существует канонический изоморфизм . Оператор вертикального проектирования позволяет представить производную Ли как сечение исходного расслоения:
Производная Ли по формам Другое обобщение основано на исследовании супералгебры Ли дифференцирований супералгебры внешних форм. Среди всех таких дифференцирований особенно выделяются так называемые алгебраические, то есть те, которые равны 0 на функциях. Любое такое дифференцирование имеет вид , где — тангенциальнозначная форма, а оператор внутреннего дифференцирования определяется по формуле
Здесь — операция альтернирования отображения по всем переменным. Производная Ли по векторнозначной форме определяется через суперкоммутатор операторов:
Её значение определяется тем, что любое дифференцирование супералгебры однозначно представимо в виде , где , — некоторые векторнозначные формы. Кроме того, по формуле можно ввести скобку Фролиха-Ниенхойса тангенциальнозначных форм.
Литература
См. также Поле Киллинга
Категория:Дифференциальная геометрия и топология Категория:Дифференциальные операторы