Квантовый эффект Хо́лла (КЭХ) — эффект квантования холловского сопротивления или проводимости двумерного электронного газа в сильных магнитных полях и при низких температурахСлюсар В. И. Наноантенны: подходы и перспективы // Электроника: Наука, Технология, Бизнес. — 2009. — № 2. — С. 61.. Целочисленный КЭХ открыт Клаусом фон Клитцингом (совместно с Герхардом Дордой и Майклом Пеппером) в 1980 годуK. v. Klitzing, G. Dorda, M. Pepper New Method for High-Accuracy Determination of the Fine-Structure Constant Based on Quantized Hall Resistance Phys. Rev. Lett. 45, 494 (1980) , за что в 1985 году получил Нобелевскую премию.

Является квантово-механической версией классического эффекта Холла, который наблюдается в двумерных электронных системах, при достаточно низких температурах и сильных магнитных полях, в которых сопротивление Холла демонстрирует ступенчатую зависимость, принимающие определённые квантованные значения на плато равные:

где  — напряжение Холла,  — ток канала,  — элементарный заряд, а  — постоянная Планка. В общем случае множитель может принимать как целые числа (), так и дробные значения (). Яркой особенностью целочисленного квантового эффекта Холла является сохранение квантования (то есть плато Холла) при изменении плотности электронов.

Дробный квантовый эффект Холла более сложен и его исследование считается открытой исследовательской задачей. Его существование в основном зависит от электрон-электронных взаимодействий. В 1988 году было высказано предположение о существовании квантового эффекта Холла без уровней Ландау. Этот квантовый эффект Холла называется квантовым аномальным эффектом Холла. В середине 2000-х годов появилась концепция квантового спинового эффекта Холла, который является аналогом квантового эффекта Холла, где вместо зарядовых токов текут спиновые токи.

История

В 1957 году в лабораториях Белла и Линкольн Дерик изготовили первые полевые транзисторы на основе диоксида кремния, а также первые транзисторы, в которых сток и исток были расположены рядом на поверхности. Впоследствии в 1960 году в Bell Labs группа продемонстрировала работающий МОП-транзистор. Это позволило физикам изучить поведение электронов в почти идеальном двумерном газе. В МОП-транзисторе электроны проводимости перемещаются в тонком приповерхностном слое, а напряжение «затвора» управляет числом носителей заряда в этом слое. Это позволяет исследователям изучать квантовые эффекты в высокочистых МОП-транзисторах при температурах жидкого гелия.

Целочисленное квантование проводимости Холла было первоначально предсказано исследователями Токийского университета Цунэя Андо, Юкио Мацумото и Ясутада Уэмура в 1975 году на основе приблизительного расчёта, который они сами не считали верным. В 1978 году исследователи из Университета Гакусюин Дзюнъити Вакабаяси и Синдзи Кавадзи впоследствии наблюдали этот эффект в экспериментах, проведённых на инверсионном слое МОП-транзисторов.

В 1980 году Клаус фон Клитцинг, работая в лаборатории сильных магнитных полей в Гренобле с разработанными Михаэлем Пеппером и Герхардом Дордой образцами МОП-транзисторов на основе кремния, сделал неожиданное открытие. Он показал, что сопротивление Холла точно квантуется. Одновременно продольное сопротивление на этих плато обращалось в нуль, указывая на состояние с бездиссипативным током на краях образца. За это открытие фон Клитцинг был удостоен Нобелевской премии по физике 1985 года. Связь между точным квантованием и калибровочной инвариантностью была впоследствии предложена Робертом Лафлином, который связал квантованную проводимость с квантованным переносом заряда в зарядовом насосе Лафлина. В 1982 году Д. Таулесс с коллегами предложили связать КЭХ с топологическими инвариантами зон электронной структуры. В их работе был введён целочисленный топологический индекс — число Черна, возникающий из интеграла от кривизны Берри по заполненной зоне Бриллюэна, который соответствовал наблюдаемому целому числу ν на холловских плато. Таким образом, квантованная проводимость интерпретировалась как топологически защищённая характеристика системы, нечувствительная к беспорядку. Одновременно Б. Гальперин показал, что на границах образца обязательно существуют однонаправленные бездиссипативные краевые состояния, которые переносят ток при и связывают целочисленное квантование с условием одновременного зануления продольного сопротивления. Аргументы Лафлина и Таулесса имели изъяны, в частности из-за зависимости результата от определённых граничных условий, и рассматривались не как исчерпывающее объяснение КЭХ, поэтому вполследствии не раз уточнялись. Математически строгое описание КЭХ появилось в 2015 году. В 2016 году за теоретические открытия топологических фазовых переходов и топологических фаз вещества Д. Таулесс получил Нобелевскую премию по физике.

В 1982 году Дэниел Цуи и Хорст Штёрмер открыли дробный квантовый эффект Холла. В их эксперименте на высокоподвижном GaAs/AlGaAs-гетеропереходе наблюдалось, что при заполнении нижнего уровня Ландау на одну треть холловское сопротивление также точно квантовано, , хотя ν теперь принимало не целое значение, а представляло собой рациональную дробь. Это сопровождалось минимальным продольным сопротивлением, указывающим на новое устойчивое состояние электронной системы. В 1983 году Роберт Лафлин предложил теоретическое объяснение дробного квантового эффекта Холла (ДКЭХ) как проявления нового квантового состояния квантовой жидкости, обусловленного нахождением электронов в сильном магнитном поле. Лафлин сконструировал вариационную волновую функцию основного состояния при факторе заполнения , описывающую конденсацию 2D-электронного газа в несжимаемую квантовую жидкость с коллективными возбуждениями, несущими дробный электрический заряд и статистикой, отличной от ферми- или бозонной. В дополнение Д. Халдейн и Б. Гальперин развили иерархическую модель ДКЭХ, объясняющую появление других дробных плато (таких как и др.) как последовательную конденсацию возбуждений Лафлина в новых дробных состояниях. К концу 1980-х годов эксперименты подтвердили целое семейство дробных плато Холла, соответствующих ряду рациональных заполнений с нечётным , как и предсказывала теория.

2D топологические изоляторы были предсказаны Чарльзом Кейном и Юджином Меле в 2005 году в графене, который однако обладает слабым спин-орбитальным взаимодействием. Они использовали более раннюю идею Данкана Холдейна, который построил модель целочисленного квантового эффекта Холла в отсутствии внешнего магнитного поля. Андрей Берневиг и Шоучэн Чжан в 2006 году предложили новый тип материала — квантовый спиновый холловский изолятор. Впоследствии Берневиг, Тейлор Л. Хьюз и Шоучэном Чжаном сделали теоретическое предсказание, что 2D топологический изолятор с одномерными спиральными краевыми состояниями будет реализован в квантовых ямах теллурида ртути, зажатых между слоями теллуридом кадмия. В 2007 году обусловленный одномерными спиральными краевыми состояниями транспорт наблюдался в экспериментах группы Моленкампа из Университете Вюрцбурга.

Большинство экспериментов с целочисленным квантовым эффектом Холла в настоящее время проводятся на гетероструктурах арсенида галлия, хотя могут использоваться и многие другие полупроводниковые материалы. В 2007 году целочисленный квантовый эффект Холла был зарегистрирован в графене при температурах, близких к комнатной, и в оксиде магния и цинка ZnO-Mg_{x}Zn_{1-x}O.

+ Квантовые эффекты Холла Тип эффекта Год открытия Внешнее магнитное поле Материалы Квазичастицы Статистика Нарушенная симметрия обращения времени ЦКЭХ 1980 Да Si, GaAs/AlGaAs Электроны Ферми Да ДКЭХ () 1982 Да GaAs/AlGaAs Анионы Лафлина, композитные фермионы Анионы Да ДКЭХ () 1987 Да GaAs/AlGaAs Неабелевы анионы Неабелевы анионы Да Релятивистский КЭХ 2005 Да Графен Дираковские фермионы Ферми Да КСЭХ 2007 Нет HgTe/CdTe Электроны/Спиральные краевые моды Ферми Нет КАЭХ 2013 Нет (Bi,Sb)2Te3 легированный Cr Электроны/Киральные краевые моды Ферми Да ДКАЭХ 2023 Нет Двуслойный MoTe2 Да

Описание

Эффект Холла

Явление, открытое Холлом в 1879 году, состоит в том, что в проводнике с током, помещённом в магнитное поле, перпендикулярное направлению тока, возникает электрическое поле в направлении, перпендикулярном направлениям тока и магнитного поля. Сила Лоренца заставляет электроны отклоняться в направлении, перпендикулярном их скорости . В результате происходит накопление разноимённых зарядов на краях проводника, и между боковыми гранями образца возникнет разность потенциалов , а внутри него — электрическое поле EH, называемое полем Холла и уравновешивающее силу Лоренца.

Ток через образец равен , где  — концентрация электронов,  — площадь поперечного сечения проводника: , где  — его ширина,  — толщина. Условие равенства силы Лоренца и силы, вызванной холловским полем, есть , откуда следует, что , где называется холловским сопротивлением. В двумерных системах , где  — поверхностная концентрация электронов.

 — это отношение возникающей поперечной разности потенциалов к продольному току, . При этом продольное сопротивление , слабо зависит от индукции магнитного поля, оставаясь по величине близким к своему значению при .

Проводимость для двумерного электронного газа в перпендикулярном магнитном поле описывается классическими формулами Друде — Лоренца: , где  — циклотронная частота,  — заряд электрона,  — эффективная масса электрона,  — время рассеяния,  — концентрация электронов. Эти формулы применимы при условии слабого магнитного поля (), когда не зависит от энергии, а спектр энергии изотропен.

Двумерный электронный газ

На классические заряженные частицы, движущиеся в магнитном поле, действует сила Лоренца. Эта сила заставляет частицу двигаться по окружности с угловой скоростью , называемой циклотронной частотой (система единиц СГС). Согласно квантовой теории частицы, совершающие периодическое движение, обладают только дискретными значениями энергии, поэтому у заряженных частиц в магнитном поле появляются уровни энергии, называемые уровнями Ландау. Энергия k-го уровня, если пренебречь составляющей импульса и наличием спина у частицы, определяется выражениемЛ. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц «Теоретическая физика», в 10 т, т. 3 «Квантовая механика (нерелятивистская теория)», М., Физматлит, 2002, 808 с., ISBN 5-9221-0057-2 (т. 3), гл. 15 «Движение в магнитном поле», п. 112 «Движение в однородном магнитном поле», c. 554—559;: .

Двумерный электронный газAndo T., Fowler A. B. and Stern F. Electronic properties of two-dimensional systems Rev. Mod. Phys. 54, 437 (1982). конечной ширины и длины в магнитном поле вдоль оси и электрическом поле вдоль испытывает напряжение между границами, что влияет на холловскую проводимость даже в бесстолкновительном пределе . Гамильтониан электрона: , где  — оператор импульса, а  — векторный потенциал в калибровке Ландау. При волновые функции осциллятора: , где ,  — магнитная длина,  — циклотронная частота, а  — полином Эрмита. Спектр энергии: .

Для конечной ширины края моделируются как потенциальные стенки при , что изменяет спектр энергии и приводит к появлению краевых состояний с волновыми функциями: ,

с энергией:

.

При значения почти целые в центре, но изменяются на краях, где формируются краевые состояния, поддерживающие ток вдоль границ.

Холловская проводимость вычисляется путём интегрирования плотности тока по для всех занятых состояний: , где функция Ферми выбирает заполненные состояния.

Энергетический спектр двумерного электронного газа дискретный и каждый энергетический уровень обладает следующим вырождением (число орбит, которые могут принадлежать уровню Ландау):

,