Матрица Яко́би — функциональная матрица, описывающая главную линейную часть заданного отображения (или ) через частные производные первого порядка: , то есть производная векторной функции от векторного аргумента , в связи с чем также иногда обозначается в как или (как векторнофункциональный аналог оператора Гамильтона).
Отображение называют невырожденным, если его матрица Якоби имеет максимально возможный ранг: .
Если все непрерывно дифференцируемы в окрестности , то .
Если — дифференцируемые отображения, то матрица Якоби их композиции равна произведению их матриц Якоби (свойство функториальности): .
Якобиан Если , то определитель матрицы Якоби называется якобиа́ном отображения . Якобиан — отображение (или ) — в заданной точке даёт существенную информацию о поведении в ней отображения, в частности, отображение обратимо в точке тогда и только тогда, когда якобиан в этой точке отличен от нуля: (теорема об обратной функции).
Гипотеза якобиана: если якобиан полиномиальной функции является ненулевой постоянной функцией, то обратная функция тоже полиномиальна — была подтверждена для ряда частных случаев, но в 2026 году объявлено о нахождении с использованием большой языковой модели контрпримера для .
Геометрический смысл абсолютного значения якобиана — функция растяжения (сжатия) элементарного объёма при преобразовании координат, заданного .
Литература
Категория:Математический анализ Категория:Типы матриц Категория:Дифференциальное исчисление многих переменных