Регуля́рный (одноро́дный) граф — граф, степени всех вершин которого равны, то есть каждая вершина имеет одинаковое количество соседей. Степень регулярности является инвариантом графа и обозначается . Для нерегулярных графов не определено. Регулярные графы представляют особую сложность для многих алгоритмов.
Регулярный граф с вершинами степени называется регулярным графом степени , или ‑регулярным.
Регулярные графы степени не больше двух легко классифицировать: 0-регулярный граф состоит из изолированных вершин (нуль-граф), 1-регулярный — из изолированных рёбер, а 2-регулярный — из разрозненных циклов.
3-регулярный граф известен также как кубический.
Сильно регулярный граф есть регулярный граф, для которого существуют такие и , что любые две смежные вершины имеют общих соседей и любые две несмежные вершины имеют общих соседей. Наименьшие графы, которые регулярны, но не сильно регулярны — циклический граф и циркулянтный граф на шести вершинах.
Полный граф является сильно регулярным для любого .
Теорема гласит, что каждый k‑регулярный граф на 2k + 1 вершинах имеет гамильтонов цикл.
Алгебраические свойства
Пусть A есть матрица смежности графа. Тогда граф регулярен тогда и только тогда, когда есть собственный вектор AД. М. Цветкович, М. Дуб и Х. Сачс, «Спектр графов: теория и применение», 3-я редакция, Нью-Йорк: Уайли, 1998.. Его собственное число будет постоянной степенью графа. Собственные векторы, соответствующие другим собственным числам, ортогональны , поэтому для собственных векторов мы имеем .
Регулярный граф степени k связен тогда и только тогда, когда собственное число k имеет единичную кратность.
Другой критерий регулярности и связности графа: граф связен и регулярен тогда и только тогда, когда матрица J с находится в графа.
Пусть G есть k-регулярный граф диаметра D и с собственными числами матрицы смежности . Если G не двудолен:
где
.
Генерация
Регулярный граф можно сгенерировать программой GenReg.М. Мерингер, "Теория графов", 1999, 30, 137.
См. также
Случайный регулярный граф Сильно регулярный граф Граф Мура Клетка
Примечания
Ссылки
GenReg программа и данные Маркуса Мерингера.
Категория:Теория графов *