При конструктивном подходе к определению вещественного числа вещественные числа строят, исходя из рациональных, которые считают заданными. Во всех трёх нижеизложенных способах за основу берутся рациональные числа и конструируются новые объекты, называемые иррациональными числами. В результате пополнения ими множества рациональных чисел, мы получаем множество вещественных чисел.
Теория фундаментальных последовательностей Кантора Излагаемый ниже подход к определению вещественных чисел был предложен Г. Кантором в статье, опубликованной в 1872 году. Сходные идеи высказывались Э. Гейне и Ш. Мере.
Критерий сходимости Коши и его использование Кантором
Исходным пунктом теории Кантора была следующая идея. Всякое вещественное число может быть задано с помощью последовательности рациональных чисел
представляющих приближения к этому вещественному числу с возрастающей степенью точности, то есть сходящейся к этому числу.
Давайте теперь понимать под вещественным числом некоторый объект , определяемый сходящейся последовательностью рациональных чисел .
Однако здесь скрывается порочный круг. В определении сходящейся последовательности участвует вещественное число, являющееся её пределом — то самое понятие, которое мы хотим определить при помощи сходящихся последовательностей:
сходится существует , такое что
Чтобы не получился порочный круг, необходимо иметь некоторый признак, который позволяет выразить условие сходимости последовательности в терминах её членов, то есть без того чтобы говорить о самом значении предела последовательности.
Ко времени Кантора такой критерий уже был найден. Его в общей форме установил французский математик О. Коши В действительности Коши установил критерий сходимости ряда, также носящий его имя, но из каждого из этих двух критериев легко вытекает другой. Согласно критерию Коши последовательность сходится тогда и только тогда, когда
Образно говоря, условие сходимости последовательности в критерии Коши заключается в том, что её члены, начиная с некоторого номера, будут лежать сколь угодно близко друг от друга.
Разумеется, Коши был не в состоянии дать сколько-нибудь строгое обоснование этого критерия вследствие отсутствия теории вещественного числа.
Кантор в определённом смысле поставил все с ног на голову. Он обратил внимание на то, что этот признак сам по себе характеризует внутренние свойства сходящейся последовательности: он может быть сформулирован и проверяем без того чтобы говорить о самом вещественном числе, являющемся пределом этой последовательности. И поэтому этот признак может быть использован для выделения класса последовательностей, при помощи которых можно определять вещественные числа.
Таким образом, основной шаг, который делает Кантор в построении теории вещественного числа заключается в том, что он рассматривает всякую последовательность рациональных чисел , удовлетворяющую условию Коши как определяющую некоторое (рациональное или иррациональное) вещественное число.
В современной терминологии последовательность, удовлетворяющая условию Коши, называется последовательностью Коши, или фундаментальной последовательностью.
Построение теории вещественных чисел по Кантору
Две фундаментальные последовательности и могут определять одно и то же вещественное число. Это имеет место при условии
Таким образом, на множестве всех фундаментальных последовательностей рациональных чисел устанавливается отношение эквивалентности, и в соответствии с общим принципом все фундаментальные последовательности разбиваются на классы эквивалентности. Смысл этого разбиения таков, что последовательности из одного класса определяют одно и то же вещественное число, а последовательности из разных — разные. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между вещественными числами, и классами фундаментальных последовательностей рациональных чисел.
Теперь мы можем сформулировать основное определение теории вещественных чисел Кантора.
Определение. Вещественное число есть класс эквивалентности фундаментальных последовательностей рациональных чисел.
Вещественное число (класс эквивалентности), определяемое фундаментальной последовательностью рациональных чисел обозначим .
Арифметические действия с вещественными числами вводятся следующим образом. Если даны два вещественных и , определённые фундаментальными последовательностями и , так что и то суммой и называется вещественное число, определяемое последовательностью , то есть класс эквивалентости, содержащий эту последовательность:
Нетрудно проверить, что это определение корректно, то есть не зависит от выбора конкретных последовательностей из класса и из класса .
Аналогично определяются разность, произведение и частное вещественных чисел.
Вещественное число по определению больше числа , то есть , если
Это определение не зависит от выбора последовательностей из класса и из класса .
Система рациональных чисел включается в систему вещественных чисел посредством дополнительного соглашения, согласно которому последовательность
все члены которой равны одному и тому же рациональному числу определяет это само число, так что . Иначе говоря, всякий класс , содержащий стационарную последовательность отождествляется c числом . Таким образом, сконструированное множество вещественных чисел является расширением множества рациональных.
На этом построение множества вещественных чисел завершено. Далее, на основе введенных определений можно доказать известные свойства вещественных чисел.
Полнота множества вещественных чисел
Из определения вытекает, что всякая фундаментальная последовательность рациональных чисел сходится к некоторому вещественному числу. Этот принцип лежал в основе определения вещественного числа. Благодаря ему, множество рациональных чисел пополнилось новыми элементами — иррациональными числами — пределами фундаментальных последовательностей рациональных чисел, которые в старом множестве рациональных чисел предела не имели.
Возникает закономерный вопрос, нельзя ли провести аналогичную процедуру пополнения ещё раз, уже для построенного множества вещественных чисел: образовать фундаментальные последовательности вещественных чисел и пополнить множество вещественных чисел пределами тех из них, которые до этого предела не имели.
Оказывается, это сделать не получится. Всякая фундаментальная последовательность вещественных чисел имеет предел во множестве вещественных чисел. Другими словами, множество вещественных чисел содержит пределы всех фундаментальных последовательностей своих элементов. Это свойство множества вещественных чисел называется полнотой. А само утверждение о сходимости всякой фундаментальной последовательности вещественных чисел составляет основное содержание критерия сходимости Коши, который в теории Кантора является центральной теоремой.
Идея пополнения множества рациональных чисел пределами фундаментальных последовательностей, использованная Кантором для «создания» иррациональных чисел, была позже использована Ф. Хаусдорфом при доказательстве знаменитой теоремы о пополнении метрического пространства.
Теория бесконечных десятичных дробей
Теория бесконечных десятичных дробей восходит к К. Вейерштрассу. Около 1863 г. он разработал теорию вещественных чисел, которая была опубликована по записям его лекций в 1872 г.. Впрочем, оригинальная версия теории Вейерштрасса несколько отличается от теории бесконечных десятичных дробей, излагаемой в современных учебниках математического анализа (см. ниже Исторический комментарий).
Рациональные числа и десятичные дроби
Как и в случае теории Кантора, мы предполагаем заданным множество рациональных чисел . Известно, что всякое рациональное число может быть разложено в десятичную дробь, что мы будем записывать в виде:
В случае если процесс разложения остановится после конечного числа шагов, десятичная дробь будет конечной, в противном случае — бесконечной.
Всякую десятичную дробь, конечную или бесконечную, можно рассматривать как формальный ряд вида
где индекс пробегает либо начальный отрезок натурального ряда , либо весь натуральный ряд соответственно. Можно показать, что ряд, полученный при разложении рационального числа в десятичную дробь всегда сходится, и его сумма равна данному рациональному числу.
Важным для дальнейшего изложения является тот факт, что если при разложении рационального числа получается бесконечная десятичная дробь, то эта дробь всегда будет периодической.
Таким образом, между рациональными числами и десятичными дробями существует соответствие, при котором каждому рациональному числу соответствует единственная десятичная дробь, но при этом для некоторых дробей (а именно, бесконечных непериодических) нет соответствующего им рационального числа. Естественно предположить, что этим дробям также соответствуют некоторые гипотетические числа, не являющиеся рациональными. Вводя в рассмотрение эти гипотетические числа, которые мы назовем иррациональными, мы как бы заполняем бреши в совокупности всех десятичных дробей.
Таким образом, в основу теории вещественного числа мы кладем предположение (идею), что всякая десятичная дробь является разложением некоторого, рационального или иррационального, вещественного числа :
При этом мы интерпретируем это разложение так же, как и в случае рациональных чисел, то есть считаем что вещественное число есть сумма ряда
Построение теории бесконечных десятичных дробей Определение. Вещественное число есть бесконечная десятичная дробь, то есть выражение вида
где есть один из символов или , называемый знаком числа, — целое неотрицательное число, — последовательность десятичных знаков (то есть элементов числового множества ).
При этом мы считаем по определению, что дроби и представляют одно и то же число, а также одно и то же число представляют дроби вида и . Смысл этого соглашения очевиден, поскольку рациональные числа, соответствующие этим дробям совпадают. Иногда, чтобы соответствие между множеством вещественных чисел и множеством бесконечных десятичных дробей было взаимно однозначным, рассматривают не все, а только допустимые бесконечные десятичные дроби, понимая под таковыми все те, которые не имеют периода, состоящего из одной девятки, а также в число которых не входит дробь
Естественно сразу условиться, что периодические бесконечные десятичные дроби представляют соответствующие им рациональные числа. Другими словами, мы отождествляем периодические дроби с рациональными числами. При таком соглашении, множество рациональных чисел является подмножество совокупности всех вещественных чисел.
Ниже приведен набросок построения теории бесконечных десятичных дробей.
Вначале определяется порядок на множестве всех бесконечных десятичных дробей. Делается это на основе последовательного сравнения разрядов чисел от старших к младшим. Например, пусть даны два неотрицательных числа
Пусть и — первые несовпадающие знаки в десятичной записи и . Тогда если , то по определению , а если , то . На основе сравнения двух неотрицательных чисел определяется сравнимость любых двух вещественных чисел.
Можно показать, что введенное отношение сравнения задаёт на множестве бесконечных десятичных дробей структуру линейно упорядоченного множества. Также можно показать, что для периодических дробей установленное отношение порядка совпадает с уже существующим отношением сравнимости рациональных чисел.
После введения отношение порядка на множестве бесконечных десятичных дробей доказывается принципиальная для построения теории вещественного числа теорема о точной верхней грани. Эта теорема выражает собой тот факт, что упорядоченная совокупность вещественных чисел обладает свойством непрерывности (полноты) по Дедекинду.
Теперь арифметические операции, уже введенные на подмножестве рациональных чисел, распространяются на все множество вещественных чисел по непрерывности.
Именно, пусть и — два вещественных числа. Их суммой называется вещественное число , удовлетворяющее следующему условию:
Можно показать, что вещественное число, удовлетворяющее этому условию существует и единственно.