Ковариа́нтность и контравариа́нтность — используемые в математике (линейной алгебре, дифференциальной геометрии, тензорном анализе) и в физике понятия, характеризующие то, как тензоры (скаляры, векторы, операторы, билинейные формы и т. д.) изменяются при преобразованиях базисов в соответствующих пространствах или многообразиях. Контравариантными называют «обычные» компоненты, которые при смене базиса пространства изменяются с помощью преобразования, обратного преобразованию базиса. Ковариантными — те, которые изменяются так же, как и базис.
Связь между ковариантными и контравариантными координатами тензора возможна только в пространствах, где задан метрический тензор (не следует путать с метрическим пространством).
Термины ковариантность и контравариантность были введены Сильвестром в 1853 году для исследований по алгебраической теории инвариантов.
Ковариантность и контравариантность в векторных пространствах
Контравариантные и ковариантные векторы
Пусть — некоторое конечномерное векторное пространство, и в нём задан некоторый базис . Произвольный вектор можно представить как линейную комбинацию векторов базиса: . В целях упрощения записи (и по причинам, которые станут ясны ниже) обозначим координаты с верхним индексом и примем правило Эйнштейна: если в выражении участвуют одинаковые разноуровневые индексы, то по ним предполагается суммирование. Таким образом, можно записать: . Зададим новый базис с помощью матрицы преобразования . По тем же соображениям введём нижние и верхние индексы (чтобы не писать знаки суммирования) — . Тогда (предполагается суммирование по индексу j). Обозначив обратную матрицу , можно записать: . Подставив эту формулу в координатное представление вектора x, получим: . Таким образом, координаты вектора в новом базисе оказываются равными , то есть преобразуются «противоположно» (обратно) изменению базиса. По этой причине такие векторы называют контравариантными — изменяющимися противоположно базису. Контравариантные векторы — это обычные векторы. Контравариантные векторы в координатном представлении обычно записывают как «вектор-столбец». Для идентификации контравариантных векторов используется верхний, или контравариантный, индекс.
Пространство всех линейных функционалов, отображающих векторы в числа, называют сопряжённым пространством . Оно также является векторным пространством той же размерности, что и основное пространство. В этом пространстве также можно определить базис. Обозначим элементы базиса сопряжённого пространства с верхним индексом . Любой функционал можно представить в этом базисе через координаты, которые будем обозначать нижними индексами. Тогда, применяя правило Эйнштейна, можем записать: , то есть любой линейный функционал можно записать просто набором чисел , как обычный вектор (за исключением нижнего расположения индекса).
Выберем базис в сопряженном пространстве так, что , то есть эти функционалы находят -ю координату вектора (проекцию на базисный вектор ). Такой базис называют дуальным (базису основного пространства). При смене базиса основного пространства необходимо сохранить это условие, то есть . Таким образом, дуальный базис изменяется обратно изменению основного базиса. Координаты произвольного линейного функционала будут меняться противоположно собственному базису (как и в любом пространстве), то есть с помощью матрицы . Следовательно, они будут меняться так, как основной базис. Это свойство называют ковариантностью. Сами линейные функционалы в координатном представлении в дуальном базисе называют ковариантными векторами, или кратко — ковекторами. Внешне ковектор «выглядит» как обычный вектор — в смысле обычного набора чисел, представляющих его координаты. Отличие ковектора от контрвариантного вектора заключается в правиле преобразования его координат при смене базиса: они преобразуются так, как базис, в отличие от контравариантных векторов, преобразующихся противоположно базису. Ковекторы в координатной форме записывают как «вектор-строку». Для идентификации ковекторов используется нижний, или ковариантный, индекс.
Контравариантность и ковариантность тензоров
Сказанное про контравариантность и ковариантность векторов можно обобщить на объекты с несколькими индексами — тензоры, частными случаями которых и являются векторы и ковекторы.
По аналогии с линейным функционалом рассмотрим функционал, ставящий в соответствие нескольким () векторам пространства некоторое число, обладающий свойством линейности по каждому вектору. Это так называемые полилинейные функции. Можно показать, что все -линейные функции образуют линейное пространство, в котором можно также ввести базис и представить произвольную -линейную функцию в координатном виде. Можно также показать, что их координаты преобразуются как базис основного пространства (так же как и ковариантные векторы). Поэтому такие полилинейные функции называют раз ковариантными тензорами. Их записывают с нижними индексами. Например, дважды ковариантный тензор обозначается так .
Аналогично можно рассматривать полилинейные функции не в основном пространстве, а в сопряженном пространстве , совокупность которых также образует линейное пространство , которое является сопряженным к . В координатном представлении в дуальном базисе они преобразуются так же, как базис пространства , а значит — противоположно базису основного пространства . То есть они обладают свойством контравариантности и называются раз контравариантным тензором. Их обозначают с верхними индексами. В частности, дважды контравариантный тензор запишется как .
Для рассматриваемых обычно пространств выполняется так называемый канонический изоморфизм и , то есть эти пространства можно считать неразличимыми. Поэтому 1-раз контравариантный тензор можно считать эквивалентным обычному контравариантному вектору.
Обобщая приведённые определения, можно рассматривать полилинейные функции от векторов и ковекторов одновременно. Соответственно, при смене базиса координатная запись такой функции будет преобразовываться с участием как матрицы преобразования основного базиса (в количестве ковекторов, участвующих в полилинейной функции), так и обратного ему (в количестве векторов полилинейной функции). Соответствующий тензор называют m раз контравариантным и k раз ковариантным — . Для ковариантных компонент используют нижние индексы, для контравариантных — верхние. Например, 1-раз контравариантный и 1 раз ковариантный тензор обозначается . Общее количество индексов называется рангом, или валентностью, тензора. Компонентами тензора являются значения полилинейной функции на базисных векторах. Например, .
Операция суммирования по одинаковым разноуровневым индексам тензоров называется свёрткой по этим индексам. Как уже было указано выше, по правилу Эйнштейна знак суммирования пропускают. В результате свёртки тензора по паре индексов его ранг уменьшается на 2. Например, отображение некоторого контравариантного вектора с помощью некоторого линейного оператора в тензорной записи будет иметь вид . Линейные операторы являются классическим примером тензора типа .
При преобразовании тензора типа при смене базиса m раз используется прямая матрица преобразования базиса и k раз обратная. Например, тензор типа при смене базиса преобразуется следующим образом:
Вообще, необходимо понимать, что сам объект от представления его в базисе не зависит. Все преобразования — это представления одного и того же объекта (тензора).
Метрический тензор
Если в линейном пространстве введено скалярное произведение — билинейная форма (или в тензорной терминологии — дважды ковариантный тензор), обладающая свойствами симметричности и невырожденности, то такие пространства (конечномерные) называют евклидовыми (при условии положительной определённости соответствующей квадратичной формы ) или псевдоевклидовым (без ограничения знака квадратичной формы). Соответствующий этой билинейной форме тензор называют метрическим тензором. Компоненты этого тензора в данном базисе . Если этот базис ортонормированный (такой базис всегда существует в (псевдо)евклидовом пространстве), то матрица компонент является диагональной. На диагонали в случае евклидового пространства — единицы (единичная матрица). В случае псевдоевклидового пространства на диагонали кроме единиц имеются также и «минус-единицы». В общем случае, однако, базисы могут быть не ортогональными, поэтому метрический тензор может быть представлен и недиагональной матрицей (тем не менее в «плоском» пространстве всегда существует преобразование базиса, которое приводит его к диагональному виду).
С помощью метрического тензора скалярное произведение запишется как . В пространствах со скалярным произведением имеет место канонический изоморфизм пространства и сопряжённого пространства , то есть каждому вектору ставится в соответствие ковектор и наоборот. Это соответствие осуществляется как раз с помощью скалярного произведения или в тензорной записи — с помощью метрического тензора. А именно, можно записать . Эта операция называется опусканием или спуском индекса. Обратное соответствие осуществляется с помощью контравариантного метрического тензора . Эта операция называется поднятием или подъёмом индекса. Несложно показать, что матрицы ковариантного и контравариантного метрических тензоров взаимно-обратны, то есть . Скалярное произведение можно выразить как в контравариантных, так и в ковариантных векторах: .
В случае ортонормированного базиса в евклидовом пространстве метрический тензор — единичная матрица, поэтому ковариантный вектор в координатной записи совпадает с контравариантным. Поэтому в этом случае деление векторов на контравариантные и ковариантные не является необходимым. Однако уже при неортогональности базиса и (или) псевдоевклидовости пространства такое разграничение имеет значение. В псевдоевклидовом пространстве в ортогональном базисе ковекторы различаются знаками некоторых координат от обычного вектора. Система векторов и ковекторов в таком случае позволяет записывать формулу для квадрата длины вектора аналогично случаю евклидового пространства . В случае неортогональных (косоугольных) базисов в евклидовых (псевдоевклидовых) пространствах метрический тензор, преобразующий контравариантные векторы в ковариантные, не является диагональным. При этом длина вектора записывается также как в евклидовом пространстве с помощью контравариантных и ковариантных векторов. Все эти случаи объединяет одно — метрический тензор (в данном базисе) имеет одинаковую матрицу для всех точек (векторов) пространства.
В пространствах с метрическим тензором «ковариантный вектор» и «контравариантный вектор» являются фактически разными представлениями (записями в виде набора чисел) одного и того же геометрического объекта — обычного вектора или ковектора. То есть один и тот же вектор может быть записан как ковариантный (то есть набор ковариантных координат) и контравариантный (то есть набор контравариантных координат). То же можно сказать о ковекторе. Преобразование одного представления в другое осуществляется просто свёрткой с метрическим тензором. Содержательно же векторы и ковекторы различают лишь по тому, какое из представлений для них естественно. Естественным для обычного вектора является контравариантное представление. Для ковариантного вектора естественным является свертка с обычными векторами без участия метрики. Примером ковариантного вектора является градиент скалярной функции . Его свёртка с контравариантным (обычным) вектором даёт инвариант — дифференциал функции . Таким образом, если мы принимаем в качестве обычных векторов пространства, то градиент должен быть ковектором, чтобы при свёртывании не нужно было использовать метрический тензор. При этом сами векторы требуют при свёртывании с такими же векторами использования метрического тензора .