Теорема Пуанкаре — Бендиксона — теорема в теории динамических систем, описывающая возможные типы предельного поведения траектории векторного поля на плоскости или на сфере. Теорема утверждает, что предельное поведение траекторий в этом случае регулярно, и не может быть хаотическим (невозможно даже наличие всюду плотных орбит).
Формулировка теоремы
Пусть задано -гладкое векторное поле на сфере или на плоскости или в некоторой ограниченной области плоскости (в последнем случае, направленное внутрь на границе области), имеющее лишь конечное число особых точек. Тогда ω-предельное множество любой траектории — это либо (1) особая точка, либо (2) периодическая траектория, либо (3) полицикл (объединение особых точек и соединяющих их отрезков траекторий). Аналогичное утверждение имеет место и для α-предельных множеств.
Замечания
См. также Поток Черри Мешок Бендиксона Теорема Бендиксона об отсутствии замкнутых траекторий
Примечания
Литература
Ю.С. Ильяшенко. Эволюционные процессы и философия общности положения, М.: МЦНМО, 2007.
Категория:Динамические системы Категория:Дифференциальные уравнения