Эрми́тово сопряжённая ма́трица (сопряжённо-транспони́рованная матрица) — матрица с комплексными элементами, полученная из исходной матрицы транспонированием и заменой каждого элемента комплексно сопряжённым ему.
Например, если:
то: .
Эрмитово сопряжённые матрицы во многом играют ту же роль при изучении комплексных векторных пространств, что и транспонированные матрицы в случае вещественных пространств. Обобщение понятия эрмитово сопряжённой матрицы на бесконечномерные пространства — сопряжённый оператор.
Определения и обозначения Если исходная матрица имеет размер , то эрмитово сопряжённая к матрица будет иметь размер , а её -й элемент будет равен: , где обозначает комплексно сопряжённое число к (сопряжённое число к есть , где и — вещественные числа).
Другая запись определения: .
Эрмитово сопряжённую матрицу обычно обозначают как или (от — эрмитова), но иногда применяются и другие обозначения, в частности, (в квантовой механике) и (но редко используется, так как может быть спутано с обозначением для псевдообратной матрицы).
Если матрица состоит из вещественных чисел, то эрмитово сопряжённая к ней матрица — это просто транспонированная матрица , если .
Для квадратных матриц существует набор связанных определений — называется: эрмитовой, если ; антиэрмитовой или косоэрмитовой, если ; нормальной, если ; унитарной, если , где — единичная матрица. Свойства антиэрмитовых, нормальных и унитарных матриц могут быть выражены через свойства эрмитовых матриц и наоборот.
Свойства Взаимодействия с операциями матричной алгебры: для любых двух матриц и одинаковых размеров; для любого комплексного скаляра ; для любых матриц и , таких, что определено их произведение (в правой части равенства порядок перемножения матриц меняется на противоположный); для любой матрицы .
Собственные значения, определитель и след меняются на сопряжённые у эрмитово сопряжённой матрицы, по сравнению с исходной.
Матрица обратима тогда и только тогда, когда обратима матрица ; при этом:
для любой матрицы размера и любых векторов и . Обозначение обозначает стандартное скалярное произведение векторов в комплексном векторном пространстве.
Матрицы и являются эрмитовыми и положительно-полуопределёнными для любой матрицы (необязательно квадратной). Если квадратная и невырожденная, то эти две матрицы будут положительно-определёнными.
Ссылки
Категория:Типы матриц