Мно́жественный коэффицие́нт корреля́ции характеризует тесноту линейной корреляционной связи между одной случайной величиной и некоторым множеством случайных величин. Более точно, если (ξ1,ξ2,…,ξk) — случайный вектор из Rk, тогда коэффициент множественной корреляции между ξ1 и ξ2,…,ξk численно равен коэффициенту парной линейной корреляции между величиной ξ1 и её наилучшей линейной аппроксимацией по переменным ξ2…,ξk, которая представляет собой линейную регрессию ξ1 на ξ2,…,ξk.
Свойства Множественный коэффициент корреляции обладает тем свойством, что при условии
когда — это регрессия ξ1 на ξ2,…,ξk,
среди всех линейных комбинаций переменных ξ2,…,ξk переменная ξ1 будет иметь максимальный коэффициент корреляции с ξ1*, совпадающий с . В этом смысле множественный коэффициент корреляции является частным случаем канонического коэффициента корреляции. При множественный коэффициент корреляции по абсолютной величине совпадает с коэффициентом парной линейной корреляции между ξ1 и ξ2.
Вычисление Множественный коэффициент корреляции вычисляется с помощью корреляционной матрицы по формуле
,
где — это определитель корреляционной матрицы, а — это алгебраическое дополнение элемента ; здесь . Если , тогда с вероятностью 1 значения ξ1 совпадают с линейной комбинацией ξ2,…,ξk, следовательно, совместное распределение ξ1,ξ2,…,ξk лежит на гиперплоскости в пространстве Rk. С другой стороны, при все парные коэффициенты корреляции равны нулю, следовательно, значения ξ1 не коррелируют с величинами ξ2,…,ξk. Верно и обратное утверждение. Множественный коэффициент корреляции можно также вычислить по формуле
,
где — это дисперсия ξ1, а — дисперсия ξ1 относительно регрессии.
Выборочный множественный коэффициент корреляции Выборочным аналогом множественного коэффициента корреляции служит величина , где и — это оценки для и , полученные по выборке объема . Для проверки нуль-гипотезы об отсутствии взаимосвязи используется распределение статистики . При условии, что выборка взята из многомерного нормального распределения, величина будет обладать бета-распределением с параметрами , если . Для случая тип распределения известен, но практически не используется ввиду его громоздкости.
См. также Коэффициент детерминации
Литература Крамер Г. Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975; Кендалл М., Стьюард А., Статистические выводы и связи, пер. с англ., М., 1973. Категория:Регрессионный анализ Категория:Эконометрика