Гипо́теза Лежа́ндра (3-я пробле́ма Ланда́у) — математическая гипотеза из семейства результатов и гипотез относительно интервалов между простыми числами, согласно которой для любого натурального существует простое число между и . Является одной из проблем Ландау. Сформулирована Лежандром в 1808 году, по состоянию ни доказана, ни опровергнута.
Промежутки простых чисел Из теоремы о распределении простых чисел следует, что число простых чисел между и . асимптотически стремится к . Поскольку это число растёт при росте , это даёт основания для гипотезы Лежандра.
Если гипотеза верна, интервал между любым простым и следующим простым всегда должен быть порядка Это следствие факта, что разница между двумя последовательными квадратами имеет порядок их квадратных корней., как выражено в -нотации. Две более сильные гипотезы — гипотеза Андрицы и гипотеза Оппермана — предполагают то же самое поведение интервалов. Гипотеза не даёт решение гипотезы Римана, но усиливает одно из следствий в случае верности гипотезы.
Если верна гипотеза Крамера (о том, что промежутки имеют порядок ), то гипотеза Лежандра будет следовать из неё для достаточно больших . Крамер также показал, что из гипотезы Римана вытекает более слабая граница размера наибольшего интервала между простыми числами.
Контрпример в районе 1018 должен был бы иметь интервал в 50 миллионов раз больше среднего интервала.
Из гипотезы Лежандра следует, что по меньшей мере одно простое может быть найдено в каждой половинке оборота спирали Улама.
Частичные результаты В начале 2000-х годов установлено, что существует простое число в интервале для всех больших .
Таблица максимальных интервалов простых чисел показывает, что гипотеза выполняется до .
Было доказано, что для бесконечного количества чисел выполняется
где — функция распределения простых чисел.
См. также Постулат Бертрана Гипотеза Брокара Гипотеза Фирузбэхт
Примечания
Литература
.
Ссылки
Лежандра Категория:Открытые математические проблемы