Стоимость под риском (, VaR) — стоимостная мера риска. Это выраженная в денежных единицах оценка величины, которую не превысят ожидаемые в течение данного периода времени потери с заданной вероятностью.
VaR характеризуется тремя параметрами: Временной горизонт, который зависит от рассматриваемой ситуации. По базельским документам — 10 дней, по методике RiskMetrics — 1 день. Чаще распространен расчет с временным горизонтом 1 день. 10 дней используется для расчета величины капитала, покрывающего возможные убытки. Доверительный уровень () — уровень допустимого риска. По базельским документам используется величина 99 %, в системе RiskMetrics — 95 %. Базовая валюта, в которой измеряется показатель.
VaR — это величина убытков, которая с вероятностью, равной уровню доверия (например, 99 %), не будет превышена. Следовательно, в 1 % случаев убыток составит величину, большую чем VaR.
Проще говоря, вычисление величины VaR проводится с целью заключения утверждения подобного типа: «Есть уверенность на X% (с вероятностью X/100), что потери не превысят Y долларов в течение следующих N дней». В данном предложении неизвестная величина Y является VaR.
Общие свойства VaR является относительно простой в интерпретации риск-метрикой, характеризующей в целом исследуемое распределение. Ей присущи два основных недостатка: С помощью VaR невозможно оценить размер убытков вне доверительного уровня. Для этих целей применяется дополнительная метрика: ожидаемые потери (). VaR в общем случае не является когерентной риск-метрикой, поскольку не обладает свойством полуаддитивности. Исключением является случай .
Методы измерения Способы оценки VaR: Исторический (непараметрический): распределение доходностей берётся из уже реализовавшегося временного ряда. То есть предполагается, что распределение доходностей в будущем будут аналогично историческому. Параметрический: оценка выполняется в предположении, что известен вид распределения доходностей (чаще всего оно предполагается нормальным или логнормальным). Метод Монте-Карло.
Непараметрические методы
Непараметрические подходы являются наименее ограничительными относительно принимаемых условий.
Исторический метод Для выполнения исторической оценки достаточно проранжировать исторические значения доходностей от наибольшего к наименьшему. Первое значение, превышающее установленный доверительный уровень, и будет искомым значением VaR.
То есть для доверительного интервала следует выбирать значение доходности с номером ,
где:
— количество наблюдений доходности, — уровень значимости.
Бутстрэппинг Бутстрэп — относительно простая методика, заключающаяся в перевыборке «с возвратом» из имеющейся популяции.
Непараметрическая оценка плотности распределения
Недостаток исторического подхода — дискретность имеющихся наблюдений, что затрудняет оценку VaR для промежуточных значений. Непараметрическая оценка плотности распределения позволяет обойти это ограничение посредством интерполирования между имеющимися историческими значениями.
Одним из наиболее простых решений является интерполяция по медианным значениям между каждыми двумя соседними наблюдениями.
В результате интерполяции выполняется построение непрерывной суррогатной функции плотности распределения.
Взвешенные исторические подходы Взвешенные исторические подходы используются для обхода эффекта резкого отсечения значений за граничной точкой. Так, при невзвешенном подходе вес отсечённых значений принимается равным 0, а каждого из оставшихся — . Соответственно, рассчитываемое значение VaR будет искажено из-за чрезмерного значения весов оставшихся значений. Кроме того, невзвешенные подходы предполагают отсутствие зависимости наблюдений от внешних факторов и между собой, что не соответствует реальному рынку.
Историческое моделирование, взвешенное по возрасту Взвешивание по возрасту позволяет назначить более новым наблюдениям больший вес по сравнению с более старыми.
Один из методов — назначение весам параметра затухания со степенью , прямо пропорциональной порядковому номеру наблюдения. То есть если принять вес наблюдения за предыдущий день, равный , то веса наблюдений за предшествующие ему дни будут равны: , и т. д. Параметр затухания позволяет задать экспоненциальную скорость затухания весов наблюдений; значения, близкие 1, соответствуют низкой скорости затухания, близкие 0 — высокой. При этом вес наблюдения за предыдущий день принимается равным:
,
где — совокупное количество наблюдений.
Соответственно:
.
Историческое моделирование, взвешенное по волатильности Предложенное в 1998 году и взвешивание по волатильности позволяет учесть эффект циклов пониженной и повышенной волатильности. Использование стабильных значений волатильности в периоды повышенной рыночной турбулентности приведёт к недооценке VaR. И наоборот, повышенная волатильность в расчётах в периоды стабильного рынка приведёт к завышению оценки VaR.
Корректировка по волатильности выполняется по прогнозным значениям, полученным моделями GARCH или EWMA. Например, если прогноз выполняется для некоего будущего дня , откалиброванное значение доходности получается следующим образом:
,
где: — доходность актива за день . — прогноз волатильности актива за будущий день . — волатильность актива за день .
Историческое моделирование, взвешенное по корреляции Взвешивание по корреляции позволяет выполнить калибровку на различия между текущими и историческими значениями корреляции между парами активов.
Подход подразумевает применение ковариационных матриц, скорректированных с учётом актуализированных значений волатильностей активов (диагональные элементы ковариационной матрицы).
Фильтрованное историческое моделирование Фильтрованное историческое моделирование является наиболее продвинутым непараметрическим методом. Он сочетает в себе полу-параметрический бутстрэппинг с моделями условной волатильности (типа GARCH).
Метод чувствителен к рыночным показателям и может выдать результат вне диапазона исторических значений. Фильтрованное историческое моделирование относительно быстро отрабатывает даже для больших портфелей и обладает хорошей прогнозирующей способностью.
Недостатком метода является недостаточный учёт экстремальных исторических значений.
Параметрические методы
Параметрический метод для изолированного актива В случае, если портфель состоит из одной позиции, значение VaR для нормального распределения принимается равным:
,
где: — размер позиции, — доходность позиции за единицу времени, — волатильность позиции в единицу времени, — оцениваемый горизонт.
Соответственно, для логнормального распределения справедливо следующее соотношение:
Параметрический метод для многокомпонентного портфеля (вариационно-ковариационный) Пусть имеется активов, стоимость которых может случайным образом изменяться. Темпы возможного прироста стоимости активов обозначим и назовем их доходностями. Обозначим — вектор доходностей (случайных величин) этих активов и — ковариационную матрицу (матрица ковариаций ) доходностей. Все доходности вычисляются для выбранного периода.
Портфель активов характеризуется вектором структуры , где — доля стоимости -го актива в портфеле.
Тогда доходность портфеля выразится через доходности активов следующим образом:
Тогда ожидаемая (математическое ожидание) доходность портфеля выражается через ожидаемые доходности активов следующим образом:
а дисперсия портфеля будет равна
Если предполагается нормальное распределение доходностей, то для заданной вероятности (например, 5 % или 1 %):
,
где — односторонняя -квантиль стандартного нормального распределения.
Следовательно, величина VaR оценивается как
.
На практике истинное значение ковариаций, в том числе дисперсий «доходностей» неизвестны. Они оцениваются по выборочным данным за длительный период по соответствующим формулам. При этом предполагается стационарность «доходностей» активов.
VaR в теории экстремальных значений Согласно теореме Фишера — Типпетта — Гнеденко (1928), являющейся ключевой в (), выборка экстремальных значений размером принимает вид ():
,
где:
— «хвостовой» индекс, определяющий форму распределения, — параметр сдвига, — масштабирующий параметр.
При этом должно соблюдаться условие:
.
К распределению убытков выше некоторого установленного высокого порога применяется разновидность EVT под названием подхода превышений над порогом (; POT). Распределение для порога со значением , превышение которого не будет большим значения , приобретает вид:
.
VaR и ES для подхода POT выражаются, соответственно, следующим образом:
, ,
где: — масштабирующий параметр, — количество наблюдений, — количество превышений порога , — уровень значимости VaR.
Метод Монте-Карло В случае однофакторной модели изменение цены позиции описывается геометрическим броуновским движением. Соответственно, генерируются значения дрифтов (винеровских процессов), определяемых нормальным распределением:
.
В случае же многофакторной модели матрица корреляций значений дрифтов разных позиций предварительно обрабатывается разложением Холецкого или другими, менее ограничительными, но более вычислительно затратными преобразованиями.
Симуляции методом Монте-Карло широко применяются для прайсинга комплексных портфелей и нелинейных деривативов. Одной из основных препятствием в использовании метода являются высокие требования к вычислительным мощностям.
Ожидаемые потери (Expected Shortfall) Одним из способов оценки портфельных рисков является оценка ожидаемых потерь (, ES) — взвешенное по вероятности математическое ожидание потерь в хвосте распределения за предельным значением VaR.
Если случайную величину возможных потерь обозначить , то определение ES:
Таким образом, если (где Lp (пространство)) — это потери портфеля в некотором будущем и , тогда формула определения средних ожидаемых потерь:
,
где — Value at Risk уровня , — плотность распределения потерь.
В отличие от базового VaR, такая мера позволяет уже не только выделить нетипичный уровень потерь, но и показывает, что, скорее всего, произойдет при их реализации. ES уровня определяет ожидаемый возврат по портфелю в худших случаях. CVaR оценивает значение (или риск) инвестиций консервативным образом, ориентируясь на менее прибыльные результаты. При больших значениях CVaR игнорирует самые прибыльные стратегии, у которых мала вероятность наступления, при малых значениях CVaR строится на самых плохих сценариях. Значение , которое часто используется на практике, составляет .
В случае нормального распределения ES будет равен:
где — плотность, а — интегральная функция стандартного нормального распределения ( — это квантиль уровня ).
Маппинг VaR
Суть маппинга VaR () сводится к замене позиций различных инструментов на соответствующие риск-факторы с дальнейшей их агрегацией.
Риски портфеля могут быть разделены на два типа: диверсифицируемый () и общий рыночный риск (). Первый риск может быть снижен посредством использования более точных и вычислительно затратных моделей.
Если доходность инструментов в портфеле представлена в виде:
,
то дисперсия портфеля с активов выражается следующим образом:
,
где первый член соответствует рыночному риску, второй — диверсифицируемому, связанному со специфическими риск-факторами.
Инструменты с фиксированной доходностью Следующим этапом после выбора специфических риск-факторов является маппинг VaR на эти факторы.
Для портфелей с фиксированной доходностью применяется один из трёх методов: маппинг по номинальной стоимости () — самый простой метод: VaR рассчитывается для бескупонной облигации, срок погашения которой совпадает со средним сроком обращения исследуемого портфеля. Использование метода приводит к завышенной оценке VaR ввиду игнорирования пересекающихся купонных платежей. маппинг по дюрации () — маппинг на бескупонную облигацию с дюрацией, равной дюрации портфеля. маппинг по денежным потокам () — самый сложный метод: денежные потоки группируются по корзинам с различными сроками обращения ().