Среднее арифметико-геометрическое (арифметико-геометрическое среднее, АГС) — величина, определяющаяся для двух величин и как предел взаимозависимых последовательностей , , где:
…
имеют при один и тот же предел |язык=en |тип=journal |автор=B. C. Carlson |год=1972}}: .
АГС может быть применено для быстрого вычисления точного периода математического маятника.
Часто используется сокращение . В частности .
Модифицированное арифметико-геометрическое среднее (МАГС) двух величин и — (общий) предел (убывающей) последовательности и (возрастающей) последовательности , где , и .
МАГС может быть применено для быстрого вычисления длины нити в линейном параллельном поле сил отталкивания.
МАГС выразимо посредством АГС, такое опосредованное вычисление МАГС предпочтительно при вычислении длины периметра эллипса с полуосями и :
где — АГС чисел и , а — МАГС чисел и . Тем самым, такая формула выражает метод Гаусса, с квадратичной сходимостью, для вычисления полного эллиптического интеграла второго рода.
Приложения С использованием АГС и МАГС можно вычислять значения некоторых трансцендентных функций и числа . Например, по формуле Гаусса — Саламина:
где , , .
В то же время, если взять: , то , где есть полный эллиптический интеграл .
То есть выражается формулой:
,
где — АГС 1 и , а — МАГС 1 и .
Пользуясь этим свойством, а также преобразованиями Ландена, Брент предложил первые АГС-алгоритмы для быстрого вычисления простейших трансцендентных функций (). В дальнейшем исследование и использование АГС-алгоритмов было продолжено многими авторами.
Примечания
Категория:Вычислительная математика Арифметико-геометрическое