Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора или, эквивалентно, соответствующего ему линейного уравнения в частных производных — математическое понятие, обобщающее идею функции Грина для дифференциальных операторов, без связи с какой-либо областью и граничными условиями.
Именно, фундаментальным решением дифференциального оператора называется решение (вообще говоря, принадлежащее классу обобщённых функций) линейного неоднородного уравнения
где правая часть — дельта-функция ДиракаВладимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М:, Физматлит, 2004..
Исторически понятие фундаментального решения сначала возникло для оператора Лапласа в размерностях 2 и 3. В настоящее время фундаментальные решения вычислены для многих конкретных дифференциальных операторов и доказано, что каждый дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами имеет фундаментальное решение.
Свойства Фундаментальное решение оператора , вообще говоря, не единственно. Оно определено с точностью до прибавления слагаемого , принадлежащего ядру оператора : пусть — решение уравнения тогда также является его решением, если . Решение неоднородного уравнения с произвольной правой частью выражается через фундаментальное решение оператора с помощью свёртки по формуле . Это решение единственно в классе обобщённых функций, для которых существует свёртка с . Функция является фундаментальным решением линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами
если и только если её преобразование Фурье удовлетворяет равенству где
i — мнимая единица.
Примеры Фундаментальное решение оператора Лапласа (нижний индекс обозначает размерность пространства) задается формулами, где — стандартный скалярный квадрат вектора :
где означает площадь поверхности единичной сферы в n-мерном евклидовом пространстве. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности имеет вид:
где — функция Хевисайда.
Фундаментальное решение бигармонического уравнения, то есть оператора имеет вид
Примечания
Литература Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М:, Наука, 1985. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М:, Физматлит, 2004.
Категория:Дифференциальные уравнения в частных производных Категория:Дифференциальные операторы