Симплекти́ческое пространство — это векторное пространство S с заданной на нём симплектической формой , то есть билинейной кососимметрической невырожденной 2-формой:

Симплектическая форма обычно обозначается . В отличие от формы скалярного произведения, для которой ,

для симплектической формы всегда

Связанные определения

Линейное преобразование L симплектического пространства называется симплектическим, если оно сохраняет симплектическую форму:

Множество всех симплектических преобразований пространства S образует группу, называемую симплектической группой и обозначаемую Sp(S). Матрица симплектического преобразования называется симплектической матрицей. Подпространство s симплектического пространства S называется симплектическим, если ограничение симплектической формы на s невырождено. Два вектора называются косоортогональными, если

Отметим, что любой вектор косоортогонален самому себе. Косоортогональным дополнением подпространства называется множество всех векторов, косоортогональных любому вектору из .

Каноническая структура

Симплектическую структуру можно ввести на любом чётномерном векторном пространстве. Можно показать, что на нечётномерном пространстве не существуют невырожденные кососимметрические 2-формы. Все симплектические пространства одинаковой размерности симплектически изоморфны. Эти факты следуют из теоремы Дарбу для симплектических пространств. Идея доказательства заключается в следующем. Рассмотрим некоторый вектор . В силу невырожденности существует такой вектор , что

Рассмотрим косоортогональное дополнение к линейной оболочке V векторов и . Можно показать, что это будет (2n-2)-мерное подпространство S, не пересекающееся c V, причём ограничение на нём невырождено. Следовательно, процесс можно продолжить по индукции. Для нечётномерного пространства процесс завершится на одномерном подпространстве, на котором заведомо вырождена, так что предположение о существовании симплектической структуры было неверным. Для чётномерного пространства мы получим базис ,

такой что

где  — символ Кронекера. Он называется каноническим базисом или базисом Дарбу.

В каноническом базисе матрица симплектической формы примет вид

где  — единичная матрица порядка n. является симплектической матрицей.

Строение подпространств

Рассмотрим подпространство и его косоортогональное дополнение . В силу невырожденности :

Кроме того,

В общем случае эти подпространства пересекаются. В зависимости от их взаимного положения выделяют 4 типа подпространств:

Симплектические: . Это верно тогда и только тогда, когда ограничение на W невырождено, так что такое определение симплектических подпространств совпадает с данным ранее. В подходящих координатах Дарбу W имеет вид

Изотропные: . Подпространство изотропно тогда и только тогда, когда тождественно равна нулю на нём. Любое одномерное подпространство изотропно. В подходящих координатах Дарбу W имеет вид . Коизотропные: . W коизотропно тогда и только тогда, когда невырождена на факторпространстве . Любое подпространство коразмерности 1 коизотропно. В подходящих координатах Дарбу W имеет вид

Лагранжевы: . W лагранжево тогда и только тогда, когда оно одновременно изотропно и коизотропно. Любое изотропное подпространство вкладывается в лагранжево, а любое коизотропное подпространство содержит лагранжево. В подходящих координатах Дарбу W имеет вид

Множество всех лагранжевых подпространств пространства размерности 2n образует многообразие, называемое лагранжевым грассманианом . Оно диффеоморфно многообразию смежных классов унитарной группы по ортогональной подгруппе , при этом

Примеры

В комплексном пространстве можно задать билинейную кососимметричную форму по формуле

где  — эрмитова форма. Эта форма задаёт симплектическую структуру на овеществлении пространства . Для любого пространства V существует каноническая симплектическая структура на пространстве , где  — сопряжённое к V пространство. Кососкалярное произведение определяется для базисных векторов в V и сопряжённых к ним по формуле

и продолжается на все остальные векторы по линейности.

См. также

Индекс Маслова Симплектическая группа Симплектическое многообразие Контактная структура Гамильтонова механика Фазовое пространство Уравнения Гамильтона

Литература

Категория:Линейная алгебра Категория:Симплектическая геометрия