Ядро в общей алгебре — характеристика отображения , обозначаемая , отражающая отличие от инъективного отображения, обычно — множество прообразов некоторого фиксированного (нулевого, единичного, нейтрального) элемента . Конкретное определение может различаться, однако для инъективного отображения множество всегда должно быть тривиально, то есть состоять из одного элемента (как правило, нейтрального элемента из ). Конструкция возникла как обобщение понятия ядра линейного отображения и естественным образом обобщена на отображения любых структур с нулём или нейтральным элементом.
Если множества и обладают некоторой структурой (например, являются группами или векторными пространствами), то также должно обладать этой структурой, при этом различные формулировки основной теоремы о гомоморфизме связывают образ и фактормножество .
В универсальной алгебре ядром гомоморфизма алгебраических систем и с общей сигнатурой называется конгруэнция , соединяющая элементы, переходящие в один и тот же образ; ядро гомоморфизма групп и ядро гомоморфизма колец, определяемые соответственно как прообразы нейтрального элемента группы и нулевого элемента кольца, согласуются таким определением через введение отношения эквивалентности по принадлежности элементов общему смежному классу или идеалу соответственно (аналогичным образом понятие факторсистемы обобщает понятия факторгруппы и факторкольца).
Дальнейшее обобщение понятия осуществлено в теории категорий (категорное ядро), в которой также используется двойственная конструкция — коядро.
Литература
Категория:Общая алгебра