Функция статистического распределения (функция распределения в статистической физике) — плотность вероятности в фазовом пространстве. Одно из основополагающих понятий статистической физики. Знание функции распределения полностью определяет вероятностные свойства рассматриваемой системы.

Механическое состояние любой системы однозначно определяется координатами и импульсами её частиц (i=1,2,…, d; d — число степеней свободы системы). Набор величин и образуют фазовое пространство.

Полная функция статистического распределения Вероятность нахождения системы в элементе фазового пространства , с точкой (q, p) внутри, даётся формулой:

Функцию называют полной функцией статистического распределения (или просто функцией распределения). Фактически она представляет собой плотность изображающих точек в фазовом пространстве. Функция удовлетворяет условию нормировки:

причём интеграл берётся по всему фазовому пространству. В соответствующем механике случае система находится в определённом микроскопическом состоянии, то есть обладает заданными и , и тогда

где (δ — функция Дирака). Помимо самих вероятностей различных микроскопических состояний, функция позволяет найти среднее статистическое значение любой физической величины  — функции фазовых переменных q и p:

где «крышечка» означает зависимость от фазовых переменных, а скобка — статистическое усреднение.

Разобьём систему на малые, но макроскопические подсистемы. Можно утверждать о статистической независимости таких подсистем вследствие их слабого взаимодействия с окружением (во взаимодействии с окружением принимают участие лишь частицы, близкие к границе подсистемы; в случае макроскопичности подсистемы их число мало по сравнению с полным числом её частиц). Статистическая независимость подсистем приводит к следующему результату для функции распределения

Индекс n относится к n-й подсистеме. Каждую из функций можно считать нормированной в соответствии с условием (2). При этом автоматически будет нормирована и функция . Понятие о статистической независимости является приближенным. Приближенным в свою очередь является и равенство (3): оно не учитывает корреляции частиц, принадлежащих различным подсистемам. Существенно, однако, что в обычных физических условиях корреляции быстро ослабевают по мере удаления частиц (или групп частиц) друг от друга. Для системы существует характерный параметр — радиус корреляций, вне которого частицы ведут себя статистически независимо. В подсистемах макроскопических размеров подавляющее число частиц одной подсистемы лежит вне радиуса корреляций от частиц другой, и по отношению к этим частицам равенство (3) справедливо.

Математически задание полной функции распределения равносильно заданию бесконечного числа независимых величин — её значений на континууме точек фазового пространства колоссальной размерности 2d (для макроскопических систем d ~ , где  — число Авогадро).

Неполное описание В более реальном случае неполного измерения становятся известны вероятности значений или даже средние значения лишь некоторых физических величин . Число их обычно бывает много меньше размерности фазового пространства системы. Функция распределения вероятностей значений дается равенством

где . Функция распределения может быть названа неполной. Очевидно, она позволяет найти вероятности значений лишь физических величин , зависимость которых от фазовых переменных осуществляется через . Для таких же величин она позволяет найти и средние значения:

где и интегрирование ведется по всем возможным значениям . Конечно, средние значения величин можно было бы найти с помощью полной функции распределения , если бы она была известна. Для функции так же, как и для полной функции распределения, справедливо условие нормировки:

Описание системы с помощью функции называется неполным описанием. Конкретными примерами служат описание с помощью функции распределения координат и импульсов отдельных частиц системы или описание с помощью средних значений масс, импульсов и энергий отдельных подсистем всей системы.

Временная эволюция функции распределения Временная эволюция функции распределения подчиняется уравнению Лиувилля:

где  — оператор Лиувилля, действующий в пространстве фазовых функций:

,

 — функция Гамильтона системы. В случае, когда оператор Лиувилля не зависит от времени (), решение уравнения (4) имеет вид

Чтобы использовать (5) для фактического построения решения, нужно знать собственные функции и собственные значения оператора .

Пользуясь полнотой и ортонормированностью , напишем:

,

где (спектр предполагается дискретным). В итоге получим

См. также Частичная функция распределения

Литература Гиббс Дж. В. «Основные принципы статистической механики» — М. — Л., 1946. // Переиздано: Изд-во «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. — 204 с. ISBN 5-93972-127-3. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. В двух томах. — М.: Мир, 1978. Березин Ф. А. Лекции по статистической физике. — Москва — Ижевск: Институт. компьютерных исследований, 2002. — 192с. (2-е изд, испр. Изд-во: МЦНМО, 2008. — 200 с. ISBN 978-5-94057-352-4) Боголюбов Н. Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. — М.— Л.: ОГИЗ. Гостехиздат, 1946. Боголюбов Н. Н. Избранные труды по статистической физике. — М.: Изд-во МГУ, 1979. Боголюбов Н. Н. Собрание научных трудов. В 12 томах. Т. 5: «Неравновесная статистическая механика, 1939—1980». — М.: Наука, 2006. ISBN 5020341428. Власов А. А. Нелокальная статистическая механика. — М.: Наука, 1978. Зубарев Д. Н., Морозов В. Г., Репке Г. Статистическая механика неравновесных процессов. Том 1. — М.: Физматлит, 2002. — 432 с. ISBN 5-9221-0211-7, ISBN 5-9221-0210-9. Пригожин И. Неравновесная статистическая механика. — Изд-во: Едиториал УРСС, 2005. — 312 с. ISBN 5-354-01004-7 Хинчин А. Я. Математические основания статистической механики. — Изд-во: Регулярная и хаотическая динамика, 2003. — 128с. ISBN 5-93972-273-3 Рюэль Д. Статистическая механика. Строгие результаты. — М.: Мир, 1971. — 368с. Крылов Н. С. Работы по обоснованию статистической физики. — М.-Л.: Из-во АН СССР, 1950. Кубо Р. Статистическая механика. — М.: Мир, 1967.

Терлецкий Я. П. Статистическая физика. (2-е изд.). — М.: Высшая школа, 1973. Уленбек Дж., Форд Дж. Лекции по статистической механике. — М.: Мир, 1965.] Хуанг К. Статистическая механика. — М.: Мир, 1966.

Категория:Статистическая механика