Прое́ктор в линейной алгебре — идемпотентный линейный оператор, то есть такой , действующий в линейном пространстве , для которого .
Линейный оператор является проектором тогда и только тогда, когда существуют такие подпространства и пространства , что раскладывается в их прямую сумму, и при этом для любой пары элементов и имеет место . Подпространства и — соответственно образ и ядро проектора (обозначаются соответственно и ). Таким образом, линейно-алгебраическое понятие проектора обобщает идею построения геометрической проекции.
В общем случае разложение линейного пространства в прямую сумму не единственно: для подпространства , вообще говоря, существует много проекторов, образ или ядро которых совпадает с .
Свойства Если — проектор, то ( — тождественный оператор) тоже проектор, причём и .
В конечномерном нормированном пространстве все проекционные операторы непрерывны. Для банахова же пространства проекционный оператор будет непрерывным, если его образ замкнут, при этом ядро проектора тоже окажется замкнутым. Таким образом, непрерывный проектор задаёт разложение пространства в прямую сумму замкнутых подпространств: .
Собственными значениями проектора могут быть только 0 и 1. Соответствующими собственными подпространствами проектора будут его ядро и образ.
Для проекторов и , заданных на векторном пространстве , и проецирующих на подпространства и соответственно, является проектором на подпространстве , в том и только том случае, когда . является проектором тогда и только тогда, когда . проецирует на подпространство . Если , то — проектор на подпространство .
Примеры Ортогональная проекция точек пространства на плоскость задаётся матрицей:
и действует на точки следующим образом:
Простейший неортогональный проектор осуществляет косоугольную проекцию точек плоскости на прямую, он задаётся матрицей: , этот оператор идемпотентен: .
Проекция, задаваемая , ортогональна, тогда и только тогда, когда .
Ортогональный проектор Если пространство — гильбертово, то есть обладает скалярным произведением (а значит и понятием ортогональности), то можно ввести понятие ортогонального проектора.
Ортогональный проектор — частный случай проектора, когда подпространства и ортогональны друг другу, иными словами, когда , или , или . В этом случае проекция элемента является ближайшим к нему элементом пространства .
Литература
Категория:Линейная алгебра Категория:Теория операторов