Дополне́ние — математическая операция, которая данному подмножеству данного множества , , ставит в соответствие другое подмножество таким образом, что когда известны подмножества и , тогда можно восстановить всё множество каким-нибудь способом.

В случаях различных структур общего множества генерируются различные определения термина «дополнение» и разнообразные алгоритмы восстановления по его подмножествам и .

Дополнение подмножества

Дополнение подмножества (или дополнительное подмножество) до множества — подмножество множества , образованное всеми элементами , которые не принадлежат . Обозначения дополнительного подмножества: , , .

Одно из главных свойств дополнения подмножества служит следующий принцип двойственности: .

Прямое алгебраическое дополнение

Прямое алгебраическое дополнение подпространства векторного пространства — любое подпространство векторного пространства такое, что его прямая алгебраическая сумма с исходным подпространством есть всё векторное пространство.

Прямое алгебраическое дополнение произвольного подпространства всегда существует, но определяется неоднозначно.

Особенно часто используется частный случай прямого алгебраического дополнения — ортогональное дополнение подпространства, когда оба подпространства взаимно ортогональны.

Обобщение прямого алгебраического дополнения — прямое топологическое дополнение.

Прямое топологическое дополнение

Прямое топологическое дополнение подпространства линейного топологического пространства — любое подпространство линейного топологического пространства такое, что его прямая топологическая сумма с исходным подпространством есть всё линейное топологическое пространство.

Дополняемое подпространство — подпространство, для которого имеется прямое топологическое дополнение.

Вместо линейного топологического пространства рассматривают также его частный случай: локально выпуклое пространстве.

Ортогональное дополнение подпространства гильбертова пространства — частный случай прямого топологического дополнения.

Обобщение прямого топологического дополнения — дизъюнктное дополнение множества.

Дизъюнктное дополнение множества

Дизъюнктное дополнение множества условно полной векторной решётки — любое множество с элементами определённого вида этой векторной решётки, которое образует линейное подпространство этой векторной решётки и при определённых условиях его прямая сумма с исходным множеством есть вся векторная решётка.

Примечания

Литература

Категория:Линейная алгебра Категория:Векторы