Формула Гаусса (соотношение Гаусса, уравнение Гаусса) — выражение для гауссовой кривизны поверхности в трёхмерном римановом пространстве через главные кривизны и секционную кривизну объемлющего пространства. В частности, если объемлющее пространство евклидово, то гауссова кривизна поверхности равна произведению главных кривизн в этой точке.
Это формула входит в уравнения Петерсона ― Кодацци.
Формулировка Пусть — двумерная поверхность в трёхмерном римановом пространстве . Тогда
где — гауссова кривизна поверхности в точке , — секционная кривизна пространства в направлении , касательном к поверхности в точке , , — главные кривизны поверхности в точке
Вариации и обобщения Формула допускает обобщения на произвольную размерность и коразмерность вложенного подмногообразия . В этом случае тензор кривизны подмногообразия выражается через сужение тензора кривизны пространства на подпространство касательное к и вторую квадратичную форму подмногообразия на касательном пространстве со значениями в нормальном пространстве к :Постников М. М. Риманова геометрия М.: Факториал, 1998, стр. 337.
Следует иметь в виду, что разные авторы определяют тензор кривизны с разным знаком и порядком аргументов. Здесь предполагается, что в случае неотрицательной секционной кривизны.
Дополнительный член в формуле можно выразить через произведение Кулкарни — Номидзу:
Из формулы Гаусса можно вывести следующие две формулу для скалярной кривизны -мерного подмногообразия в объемлющем многообразии :
где обозначает вектор средней кривизны, а — средний квадрат нормальных кривизн в точке.
Примечания
Литература 1. Постников М. М. Риманова геометрия М.: Факториал, 1998, стр. 337. 2. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии М.: Наука, 1981, Т. 2, стр. 30.
Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия Гаусса Категория:Объекты, названные в честь Карла Фридриха Гаусса