Теорема Бёрнсайда — классическая теорема теории конечных групп: группа порядка , где и — простые числа — разрешима.
Установлена Уильямом Бёрнсайдом в 1904 году. Долгое время была наиболее известным приложением теории представлений к теории групп; доказательство без использования характеров группы было найдено Голдсмитом гораздо позже.
Непосредственным следствием теоремы является то, что каждая неабелева конечная простая группа имеет порядок, делящийся на три различных простых числа. В частности, наименьшая неабелева конечная простая группа — знакопеременная группа имеет порядок .
Наименьшее простое число в разложении порядка неразрешимой конечной группы, входит в разложение в степени хотя бы 2.
Схема доказательства Бёрнсайда Используя математическую индукцию, достаточно доказать, что простая группа данного порядка — абелеваСкорняков Л. А. Элементы алгебры. — М.: Наука, 1986. — С. 228—229. — Тираж 21 000 экз.. По теореме Силова, группа имеет либо нетривиальный центр, либо класс сопряженности размера для некоторого . В первом случае, поскольку центр является нормальной подгруппой группы , она должна совпадать с центром, а значит являться абелевой. Значит верен второй случай — существует элемент группы , такой что класс сопряжённости элемента имеет размер .
Далее, используя свойства ортогональности характеров группы и свойства алгебраических чисел, можно доказать существование нетривиального неприводимого характера группы такого, что . Из простоты группы следует, что любое комплексное неприводимое представление характера верно (или точно), и отсюда следует, что принадлежит центру группы , что противоречит тому, что размер класса сопряжённости больше 1.
Примечания
Литература James, Gordon; and Liebeck, Martin (2001). Representations and Characters of Groups (2 издание.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00392-X. Глава 31. Fraleigh, John B. (2002) A First Course in Abstract Algebra (7 издание). Addison Wesley. ISBN 0-201-33596-4.
Ссылки Р. Борчердс ,
Бёрнсайда __NOTOC__