Сжимающее отображение — отображение метрического пространства в себя, уменьшающее расстояние между любыми точками: если существует такое , что , где — метрическое пространство с функцией расстояния , на котором задано отображение . Другими словами, сжимающее отображение — липшицево отображение метрического пространства в себя, константа Липшица которого строго меньше единицы; в этом случае константа Липшица называются коэффициентом сжатия.
Всякое сжимающее отображение непрерывно. По теореме Банаха у сжимающего отображения на полном метрическом пространстве существует единственная неподвижная точка, то есть такая , что ; к этой точке сходится последовательность .
Свойства сжимающих отображений широко используется в задачах численного решения уравнений, для доказательств теорем существования и единственности в дифференциальных и интегральных уравнений.
Ссылки
Категория:Метрическая геометрия Категория:Функциональный анализ