Пучок — структура, используемая для установления отношений между локальными и глобальными свойствами или характеристиками некоторого математического объекта. Пучки играют значительную роль в топологии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии, но также применяются в теории чисел, анализе и теории категорий.
Интуитивное определение Грубо говоря, пучок на топологическом пространстве задаётся данными двух типов с двумя дополнительными свойствами.
Первая часть данных заключена в отображении, сопоставляющем каждому открытому подмножеству пространства некое (абстрактное) множество . (Часто предполагается, что на этом множестве задана определённая структура, но пока что ограничимся лишь тем, что это просто множество.)
Вторая часть данных состоит в том, что для каждой пары открытых множеств зафиксировано некоторое отображение , называемое сужением. (Оно действует аналогично операции сужения на область функций, заданных на )
Требуется также, чтобы эти данные обладали следующими двумя свойствами: Аксиома нормализации: — множество из единственного элемента. Аксиома склейки: если задана согласованная система элементов (согласованность означает, что элементы и имеют одно и то же ограничение на область ), то они однозначно определяют элемент из (где — объединение всех ), ограничениями которого на соответствующую область все они являются.
Примеры
Пучки функций Основной пример даёт пучок непрерывных функций на топологическом пространстве X. Ограничение непрерывной функции на открытое подмножество есть непрерывная функция на этом подмножестве, и функция, заданная частично на открытых подмножествах, может быть восстановлена на их объединении.
Точнее, для каждого открытого подмножества пространства обозначим множество всех непрерывных вещественнозначных функций . Имея открытое множество , содержащееся в , и функцию из , мы можем сузить область определения функции до множества и получить функцию . Ограничение есть непрерывная функция на , следовательно, оно является элементом множества . Таким образом, определено отображение ограничения .
Аксиома нормализации, очевидно, выполнена, так как есть только одна непрерывная функция из пустого множества в R — пустая функция. Чтобы показать, что справедлива и аксиома склейки, предположим, что задана согласованная система непрерывных функций , . Это означает, что ограничения функций и на множестве должны совпадать. Определим теперь функцию следующим образом: так как — объединение всех , каждая точка из покрыта множеством для некоторого . Определим значение функции в точке равным . Это определение корректно: если лежит также и в , то по условию согласованности , поэтому всё равно, какой из этих функций пользоваться для определения . При этом функция непрерывна в точке , так как в её окрестности совпадает с непрерывной функцией . В итоге функция непрерывна в каждой точке из , то есть непрерывна в . Более того, — это единственная непрерывная функция, ограничение которой на области совпадает с , так как функция полностью определяется своими значениями в точках. Как следствие, существует одна и только одна функция, склеенная из функций , а именно .
На самом деле, полученный пучок есть не просто пучок множеств. Так как непрерывные функции можно поточечно складывать и получать снова непрерывные функции, этот пучок также есть пучок абелевых групп. Так как их также можно перемножать, этот пучок есть пучок коммутативных колец. Так как непрерывные функции на множестве образуют векторное пространство над R, то этот пучок — пучок алгебр над R.
Пучки решений дифференциальных уравнений Для простоты будем работать с пространством R. Допустим, на R задано дифференциальное уравнение и ищутся гладкие решения, то есть гладкие функции , удовлетворяющие этому уравнению. В предыдущем примере было описано, как строится пучок непрерывных функций на R. Подобная конструкция дословно с заменой слов «непрерывная» на слова «гладкая» применима для построения пучка гладких функций на R. Обозначим этот пучок через . — это множество гладких функций . Некоторые элементы являются решениями уравнения . Оказывается, эти решения сами по себе образуют пучок.
Для каждого открытого множества , пусть — множество гладких функций таких, что . Отображения ограничения — всё ещё сужения функций, так же, как в . всё также состоит из пустой функции. Чтобы проверить аксиому склейки, пусть — набор открытых множеств, и — их объединение. Пусть — элементы , согласованные на пересечениях, то есть . Определим так же, как и раньше: всегда, когда определено. Чтобы убедиться, что всё ещё решение дифференциального уравнения, заметим, что удовлетворяет ему в каждом из множеств , так как там она совпадает с функцией . Следовательно, есть решение уравнения . Чтобы проверить, что единственна, заметим, как и раньше, что определяется своими значениями в точках, и эти значения должны совпадать со значениями на . Итак, — единственная склейка функций , поэтому есть пучок.
Заметим, что содержится в при любом . Кроме того, если — элемент , а — открытое множество, содержащееся в , тогда результат применения отображения ограничения на функции в пучке будет тот же, что и в пучке . В таких случаях говорят, что пучок является подпучком пучка .
В зависимости от дифференциального уравнения может случиться так, что при сложении двух решений этого уравнения снова получается его решение — например, если линейно. В этом случае будет пучком групп с групповой операцией, заданной поточечным сложением функций. Однако в общем случае — всего лишь пучок множеств, а не пучок групп или колец.
Пучки векторных полей Пусть — гладкое многообразие. Векторное поле на сопоставляет каждой точке на вектор из — касательного пространства к в точке . Требуется, чтобы гладко зависело от . Определим пучок , который будет нести информацию о векторных полях на . Для каждого открытого множества , рассмотрим как гладкое многообразие и пусть — множество всех (гладких) векторных полей на . Другими словами, есть множество функций , которые точке на сопоставляют вектор из , гладко от неё зависящий. Поскольку открыто, . Определим отображения ограничения как сужения векторных полей.
Чтобы показать, что есть пучок, сначала заметим, что состоит из одной только пустой функции, так как в пустом множестве нет точек. Проверим теперь аксиому склейки. Пусть , — набор открытых множеств, и U — их объединение. На каждом открытом множестве , выберем векторное поле , и предположим, что эти поля согласованы на пересечениях, то есть . Теперь определим новое векторное поле V на U следующим образом: для всякого x из U, выберем , содержащее x. Определим V(x) как . Поскольку поля согласованы на пересечениях, V корректно определено. Более того, V(x) есть касательный вектор из , гладко зависящий от x, так как гладко зависит от x и «гладкая зависимость» — локальное свойство. Наконец, V есть единственно возможная склейка полей , так как V однозначно определяется своими значениями в каждой точке x, а эти значения должны совпадать со значениями поля на .
Можно дать другое определение пучка , использующее касательное расслоение TM многообразия M. Рассмотрим естественную проекцию , которая паре (x, v), где x точка на M , а v — вектор из , сопоставляет точку x. Векторное поле на открытом множестве U — это то же, что сечение проекции p, то есть, гладкое отображение такое, что , где — тождественное отображение на U. Другими словами, сечение s сопоставляет точке x пару (x, v) гладким образом. Отображение s не может сопоставить точке x пару (y, v) с , из-за условия . Это позволяет представить касательный пучок как пучок сечений касательного расслоения. Другими словами, при любом U есть множество всех сечений проекции p, и отображения ограничения — обычное сужение функций. По аналогии можно построить пучок сечений любого непрерывного отображения топологических пространств.
Пучок — это всегда пучок групп с поточечными операциями сложения векторов. Однако, обычно не есть пучок колец, так как на векторах не определена естественным образом операция умножения.
Формальное определение Первый шаг в определении понятия пучка состоит в определении понятия предпучка, которое охватывает пространства данных, ассоциированные с каждым открытым подмножеством топологического пространства, и операции ограничения этих данных с более крупных подмножеств на более мелкие. На втором шаге накладываются дополнительные ограничения — требования выполнимости аксиом нормализации и склейки. Предпучок, удовлетворяющий этим требованиям, и есть пучок.
Определение предпучка Пусть — топологическое пространство, а C — некоторая категория. Над пространством задан предпучок со значениями в категории C, если: Каждому открытому подмножеству в сопоставлен F(U) — объект категории C. Каждому включению открытых множеств сопоставлен морфизм объектов категории C: .
Эти морфизмы называются морфизмами ограничения. Совокупность этих морфизмов должна удовлетворять следующим условиям: Для любого открытого множества — тождественный морфизм объекта . Для каждого двойного включения справедливо равенство
Последнее условие означает, что должно быть безразлично, ограничиваем мы данные с области на область непосредственно, или в два этапа — с предварительным ограничением на , а с неё уже — на .
Предпучки в теории категорий Весьма компактным определение предпучка получается в терминах теории категорий. Сначала определяется категория O(X) открытых множеств пространства X, объектами которой являются открытые подмножества X, а множество морфизмов объекта V этой категории в объект U в случае, если V — подмножество U, состоит из единственного морфизма — отображения включения V в U, и пусто в противном случае. Тогда предпучок над пространством X со значениями в категории C — это всякий контравариантный функтор F из категории O(X) в категорию C. Такое определение предпучка допускает дальнейшее обобщение, когда рассматриваются функторы в C не обязательно из категории вида O(X) (см. предпучок (теория категорий)).
Если над пространством X задан предпучок F со значениями в категории C, и U — открытое подмножество X, объект F(U) называется пространством сечений предпучка F над множеством U. Если C — конкретная категория, тогда каждый элемент множества F(U) называется сечением пучка F над U, по аналогии с сечениями расслоённых пространств и этального пространства пучка (см. ниже). Сечение над X называется глобальным сечением. Ограничение сечения обычно обозначается как . F(U) также часто обозначается как , особенно в контексте теории когомологий пучков, в которой область U фиксируется, а пучок F — переменный.
Определение пучка Пучок — это предпучок, в котором выполнены 2 аксиомы. — терминальный объект категории C. Разумеется, чтобы аксиома имела смысл, нужно, чтобы категория C обладала терминальным объектом. На практике обычно это так и есть.
Однако более важная аксиома — аксиома склейки. Напомним, что в примерах, разобранных выше, эта аксиома требовала, чтобы набор данных (сечений пучка), согласованных на пересечениях их областей определения, всегда допускал (притом однозначно) их склейку — сечение над объединением открытых множеств, над которыми это сечение задано как бы частично. Для простоты сформулируем аксиому склейки в случае, когда C — конкретная категория. Общий случай смотри в статье «аксиома склейки».
Пусть — набор открытых множеств пространства X, и U — их объединение. Пусть над каждым из них задано сечение (пред)пучка F. Набор этих сечений называется согласованным (), если для всяких i и j .
Аксиома склейки для F выполнена, если всякий набор согласованных сечений определяет единственное сечение , такое что для каждого i.
Сечение s называется склейкой () сечений , так как оно как бы склеено из более мелких сечений.