Коне́чноме́рное простра́нство — это векторное пространство, в котором имеется конечный базис — порождающая (полная) линейно независимая система векторов. Другими словами, в таком пространстве существует конечная линейно независимая система векторов, линейной комбинацией которых можно представить любой вектор данного пространства.
Базис — это (одновременно) и минимальная порождающая (полная) система, и максимальная линейно независимая система векторов. Все базисы содержат одно и то же количество элементов, которое называется размерностью векторного пространства.
Конечномерное пространство, в котором введено скалярное произведение его элементов, называется евклидовым. Конечномерное пространство, в котором введена норма его элементов, называется конечномерным нормированным. Наличие скалярного произведения или нормы порождает в конечномерном пространстве метрику.
__TOC__
Свойства конечномерных пространств Всякий элемент конечномерного пространства представим единственным образом в виде
где — поле (часто или ), над которым рассматривается пространство , — элементы базиса. Это следует из определения базиса.
Также любой базис в евклидовом пространстве можно сделать ортонормированным при помощи ортогонализации Шмидта. Все базисы конечномерного пространства состоят из одинакового количества элементов. Это свойство даёт корректность определения размерности пространства. Пусть — конечномерное пространство и — линейно-независимая система элементов. Тогда эту систему всегда можно дополнить до базиса. Все конечномерные пространства одинаковой размерности изоморфны друг другу. В любом конечномерном пространстве над полем можно ввести скалярное произведение. Например, в пространстве с фиксированным базисом, размерности , можно ввести скалярное произведение по правилу: , где — компоненты векторов и соответственно. Из этого свойства следует, что в конечномерном пространстве над полем можно ввести норму и метрику. Как следствие, можно получить что: — рефлексивное пространствоЭто факт можно получить как при помощи теоремы Рисса-Фреше, так и прямыми выкладками, без использования теории гильбертовых пространств.. Пространство , сопряжённое к некоторому конечномерному пространству , конечномерно и его размерность совпадает с размерностью . Для любого подпространства конечномерного пространства существует подпространство часто называют ортогональным дополнением к такое, что и разлагается в прямую сумму и , . В евклидовом пространстве каждая слабо сходящаяся последовательность сходится сильно. Все нормы в конечномерном пространстве над полем эквивалентны. Сходимость в евклидовом пространстве эквивалентна покоординатной сходимости. Каждый линейный непрерывный оператор в конечномерном пространстве можно представить в виде матрицы. Пространство над полем является конечномерным тогда и только тогда, когда единичный оператор является вполне непрерывным. Пространство является конечномерным тогда и только тогда, когда найдется действующий над обратимый вполне непрерывный оператор. Пространство является конечномерным тогда и только тогда, когда единичный шар в предкомпактен. Это свойство можно переформулировать следующим образом: пространство является конечномерным тогда и только тогда, когда любое ограниченное в множество предкомпактно. Всякий линейный оператор , определённый в конечномерном пространстве является непрерывным и даже вполне непрерывным. В конечномерном пространстве, каждый оператор является унитарным тогда и только тогда, когда он изометрический, то есть сохраняет скалярное произведение.
Примеры Евклидово пространство имеет размерность 3, за его базис можно выбрать тройку векторов
Более общий случай — пространства размерности n. Норму в них обычно задают одним из следующих способов (): или Если ввести норму и скалярное произведение то пространство будет евклидовым. — пространство всех многочленов степени не выше . Размерность этого пространства . Многочлены образуют в нём базис. Пусть — произвольное линейное пространство и пусть некоторая линейно-независимая система векторов. Тогда линейная оболочка, натянутая на эту систему есть конечномерное пространство.
См. также Бесконечномерное пространство
Примечания
Литература
Категория:Линейная алгебра Категория:Функциональный анализ