Сепаратри́са — линия на фазовой плоскости, разделяющая области с разным характером решений дифференциального уравнения. Сепаратрисы начинаются и заканчиваются в седловых стационарных точках, либо на бесконечности. Сепаратриса может разделять области, например, колебательного и вращательного движения, либо отделять область регулярного движения от хаотического.
Пример: математический маятник Простым примером фазового пространства с сепаратрисой является математический маятник. Его движение описывается следующим уравнением:
,
где — длина маятника, — ускорение свободного падения, угол отклонения от вертикали. В такой системе, вследствие сохранения энергии, гамильтониан является интегралом движения:
.
Фазовые траектории зависят от значения H. При решений нет, поскольку угол и его производная должны быть вещественными. При фазовые траектории имеют замкнутый вид, что соответствует финитному колебательному движению маятника. Наконец, при фазовые траектории незамкнуты, маятник совершает вращательное движение. Между двумя областями с разным характером движения имеется сепаратриса, соответствующая . Внутри сепаратрисы движение колебательное, и период растёт с ростом значения H (т.е. с амплитудой). Движение по сепаратрисе происходит за бесконечное время, маятник замедляется при приближении к седловой точке.
См. также Фазовая плоскость Нелинейная динамика
Примечания
Категория:Нелинейные системы