Алгебра множеств — это математическая система, подобная элементарной арифметике, в которой вместо операций с числами (умножение, сложение и разность) используются операции c множествами пересечение (), объединение () и дополнение (), а вместо отношения меньше или равно () — отношение включение ().

Данное определение, предложенное в книге Куранта и Роббинса «Что такое математика?», позволяет рассматривать понятие множество независимо от аксиоматической теории множеств. В книге приведены 26 законов алгебры множеств, которые соответствуют законам классической логики и которые, как утверждают авторы книги, можно доказать без аксиом.

Основные понятия Множество, элемент. Совокупность объектов, объединенных общим свойством или несколькими свойствами, будем называть множествами, а сами объекты – элементами. Если известно, что множество состоит из элементов и и только из них, то используется запись . Порядок элементов у множеств несущественен. Например, тоже правильно.

Отношения в алгебре множеств Отношение принадлежности. Отношение между элементом и множеством называется отношением принадлежности и обозначается символом (). Запись означает, что элемент принадлежит множеству . В то же время запись означает, что элемент не принадлежит множеству . Отношение включения множеств. Пусть даны множества и . Тогда (понимается как « включено в или равно ему»), если в множестве не существует элементов, не принадлежащих множеству .

Такое «отрицательное» определение обусловлено тем, что допускается случай, когда множество не содержит элементов, т.е. является пустым множеством (обозначается ). Тем самым из этого определения следует, что пустое множество включено в любое множество.

Отношение равенства множеств. Помимо включения в алгебре множеств определено отношение равенства. Если множества содержат небольшое число элементов, то их равенство можно установить с помощью сравнения содержащихся в них элементов. Если элементов много или множества заданы с помощью описания свойств, то можно установить равенство двух множеств (допустим, ), если доказать справедливость отношений и . Этот метод доказательства основан на одном из законов алгебры множеств.

Операции в алгебре множеств Во многих случаях предполагается, что анализ соотношений между множествами выполняется в рамках некоторого универсального множества, называемого универсумом. Обозначим его . Дополнение множества. Если задан универсум , то дополнением множества (обозначается ) является операция, в результате которой образуется множество, содержащее все элементы универсума за исключением всех тех элементов, которые содержатся в .

Например, если , а , то .

Пересечение множеств. Пересечением двух множеств (например, и ) называется операция (обозначается ), в результате которой образуется множество, содержащее те и только те элементы, которые содержатся как в множестве , так и в множестве . Если окажется, что таких элементов не существует, то их пересечением будет пустое множество.

Например, если , и , то , .

Объединение множеств. Объединением двух множеств (например, и ) называется операция (обозначается ), в результате которой образуется множество, содержащее те и только те элементы, которые содержатся хотя бы в одном из этих множеств.

Например, если , , то . Законы алгебры множеств, указанные в книге Куранта и Роббинса Ниже приведены законы алгебры множеств, которые содержатся в книге Куранта и Роббинса.

Если и то Если и то

эквивалентно и эквивалентно

эквивалентно

Для доказательства этих законов Курант и Роббинс предложили использовать рисунки в виде некоторых фигур на плоскости (по сути это диаграммы Эйлера) и быть очень внимательными при рассмотрении, «чтобы не упустить ни одной из возникающих логических возможностей, когда речь идет о наличии общих элементов двух множеств или, напротив, наличии в одном множестве элементов, которые не содержатся в другом».

Более подробно о доказательстве законов алгебры множеств без аксиом содержится в книге Кулика . Схема доказательства с использованием всех возможных соотношений между двумя множествами (16 вариантов) приведена в статье в Хабре.

Новые законы алгебры множеств Эти законы впервые были сформулированы и обоснованы в Хабре. Также они были сформулированы и обоснованы в рецензируемых публикациях и . Закон парадокса: если доказано, что , то . К закону парадокса приводит ситуация, когда некоторый объект обладает свойством и в то же время не обладает им. Выразим эту ситуацию в виде соотношения между множествами: 1) ; 2) .

Вычислим контрапозиции этих суждений: 3) ; 4) . Из суждений и по закону транзитивности следует . Таким образом, данная ситуация равносильна закону парадокса.

Соотношение возникает и в том случае, когда объекту присущи не только контрадикторные ( и ) , но и контрарные свойства и , такие, что , но при этом . Тогда наличие свойств и у объекта выражается в виде двух посылок 1) и 2) .

Свойство контрарности добавляется в качестве третьей посылки: 3) .

Тогда по закону транзитивности из и следует , а из соотношений и — соотношение .

Закон непустого пересечения: если , и , то . Закон применяется для вывода частноутвердительных и частноотрицательных суждений в Силлогистике и полисиллогистике. В системах множеств позволяет распознать новые пары множеств с непустым пересечением.

Закон существования множества : если и , то .

Этот закон интересен тем, что он по форме соответствует давно известному в логике правилу вывода modus ponens (): если выводимы формулы и , то выводима формула ( – обозначение логической связки импликации). По сути, закон существования – это применительно к множествам.

Примеры использования этих законов можно найти в статье .

Отличия алгебры множеств от аксиоматической теории множеств В алгебре множеств основным (системообразующим) является не отношение принадлежности (), а отношение включения (), для которого самоприменимость () не влечет парадоксов. Законы алгебры множеств можно доказать без аксиом.

Примечания

Литература

Категория:Алгебра