Дро́бно-лине́йная фу́нкция — это числовая функция, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются линейные функции.
Дробно-линейная функция, отображающая в общем случае числовое пространство в одномерное числовое, представляет собой важный частный случай: при как в вещественном, так и комплексном пространстве — рациональной функции, отображающей в общем случае одномерное числовое пространство само в себя с помощью многочленов одной переменной произвольной степени; при в комплексном пространстве — дробно-линейного преобразования, отображающего в общем случае многомерное комплексное пространство само в себя; при в комплексном и при в вещественном пространстве, инвертируя относительно окружностей, — частный случай преобразования Мёбиуса.
Формальное определение
Дробно-линейная функция — это числовая функция вида
где — комплексные () или вещественные () числа, — соответственно комплексные или вещественные переменные, — соответственно комплексные или вещественные коэффициенты, .
Возможно обобщение на кватернионы.
Вырожденные случаи: если
то дробно-линейная функция становится целой линейной функций; если ранг матрицы
равен единице, то дробно-линейная функция вырождается в постоянную.
У собственно (невырожденной) дробно-линейной функции:
равен двум ранг матрицы
Вещественная дробно-линейная функция Вещественная дробно-линейная функция — это числовая функция вида
где — вещественные числа, — вещественные переменные, — вещественные коэффициенты, .
Функция одной переменной
В простейшем случае и действительных
график дробно-линейной функции — равнобочная гипербола с асимптотами
и
параллельными осям координат.
Асимптоты гиперболы Пусть дробно-линейная функция одного переменного
несократима, то есть , и не сводится к целой линейной функции, то есть . Выделим целую часть дроби и вынесем за скобки коэффициент при :
Теперь ясно, что график функции получается из графика следующими элементарными преобразованиями: растяжением в раз по оси , причём в случае с отражением относительно оси ; перенесением параллельно оси на ; перенесением параллельно оси на . Таким образом, дробно-линейная функция одного переменного — это обыкновенная гипербола второго порядка, прямые и — асимптоты гиперболы, взаимно перпендикулярные и параллельные осям координат, а точка пересечения асимптот не принадлежащая кривой, — её центр.
Также очевидно, что дробно-линейная функция одного переменного : «теряет смысл», то есть не имеет никакого значения, перестаёт «существовать» в точке ; на интервалах и функция везде возрастает при и везде убывает при ; при неограниченном увеличении значения функции неограниченно приближаются к , что видно также из преобразования
Производная:
Неопределённый интеграл:
Каноническое уравнение гиперболы Сначала приведём функцию
преобразованиями координат
к простейшему виду , который называется уравнением обратной пропорциональности величин и .
Теперь повернём координатные оси на угол сделав замену координат
получим в новых координатах:
Последнее уравнение есть каноническое уравнение равносторонней гиперболы с полуосями
Функция двух переменных
В случае и действительных график дробно-линейной функции
представляет собой гиперболический параболоид.
Комплексная дробно-линейная функция
Комплексная дробно-линейная функция — числовая функция вида
где — комплексные числа, — комплексные переменные, — комплексные коэффициенты, .
При комплексная дробно-линейная функция — аналитическая функция одной комплексной переменной всюду в расширенной комплексной плоскости , за исключением точки , в которой комплексная дробно-линейная функция имеет простой полюс.
При комплексная дробно-линейная функция — мероморфная функция в пространстве комплексных переменных , имеющая полярное множество .
Примечания
Источники
Категория:Типы функций Категория:Дроби Категория:Элементарные функции Категория:Элементарные функции комплексной переменной