Теорема Любая целая функция , имеющая не более чем счётное количество нулей , где точка 0 — нуль порядка , может быть представлена в виде бесконечного произведения вида , где — некоторая целая функция, а неотрицательные целые числа подобраны таким образом, чтобы ряд
сходился при всех . При соответственная множителю номер n экспонента опускается (считается равной ).
На случай кратных корней эта теорема обобщается следующим образом. Самым общим выражением для целой функции , которая в заданных точках () имеет нули кратности , является произведение , где — произвольная целая функция, а неотрицательные целые числа подобраны таким образом, чтобы ряд
сходился при всех .
Примеры Разложение синуса и косинуса в бесконечное произведение.
Замечание Данная теорема, как и теорема Миттаг-Леффлера, представляет собой обобщение известного свойства — разложения многочленов на сомножители — на случай целых функций.
Литература Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. М., 1968. Стр. 125 и сл. Rüchs F. Funktionentheorie. Berlin, 1962. Стр. 200. Фукс Б. А., Шабат Б. В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. — М.: Наука, 1964. — С. 316
Категория:Комплексный анализ Вейерштрасса о целых функциях Категория:Объекты, названные в честь Карла Вейерштрасса Категория:Бесконечные произведения