Лемма Шварца — классический результат комплексного анализа о гармонических отображениях из круга в себя.
Названа в честь Карлa Шварцa.
Формулировка Пусть — единичный круг на комплексной плоскости . Далее, пусть функция аналитична в и удовлетворяет двум условиям: ; , или, что равносильно, .
Тогда: в ; . Более того, оба эти неравенства превращаются в равенства тогда и только тогда, когда функция имеет вид , то есть она сводится к повороту. Идея доказательства в том, что функция будет аналитичной при и применения к ней принципа максимума для гармонических функций.
Вариации и обобщения Лемма Шварца применением к исходному кругу дробно-линейного отображения автоматически ведёт к более общему утверждению — теореме Шварца — Пика.
Литература
Категория:Комплексный анализ Шварца Ш