Теорема о свёртке — математическое утверждение, которое гласит, что при подходящих условиях преобразование Фурье свёртки двух функций (или сигналов) является поточечным произведением их преобразований Фурье. В более общем случае свёртка в одной области (например, во временной) равна точечному умножению в другой области (например, в частотной). Другие версии теоремы о свёртке применимы к различным преобразованиям Фурье.
Функции непрерывной переменной Рассмотрим две функции и с соответствующими преобразованиями Фурье и :
где обозначает оператор преобразования Фурье. Преобразование может быть нормализовано и другим способом, при котором постоянные коэффициенты масштаба (обычно или ) будут фигурировать в теореме о свёртке ниже. Свёртка и определяется как:
В данном контексте звёздочка обозначает свёртку, а не обычное умножение. Вместо этого иногда используется символ тензорного произведения .
Теорема о свёртке утверждает, что:
Применение обратного преобразования Фурье даёт следствие:
Теорема также в общем случае применима к функциям нескольких переменных.
Рассмотрим функции в Lp-пространстве и преобразования Фурье :
где обозначает скалярное произведение в : и
Свёртка и определяется как:
Также:
Отсюда по теореме Фубини следует, что . Поэтому его преобразование Фурье определяется интегральной формулой:
Отметим, что, отсюда по приведённому выше аргументу можно снова применить теорему Фубини (то есть поменять порядок интегрирования):
Эта теорема также справедлива для преобразования Лапласа, двустороннего преобразования Лапласа и, при соответствующей модификации, для преобразования Меллина и преобразования Хартли (см. ). Она может быть распространена на преобразование Фурье абстрактного гармонического анализа, определённого над локально компактными абелевыми группами.
Периодическая свёртка (коэффициенты ряда Фурье) Рассмотрим -периодическую функцию и , которые могут быть выражены как периодические суммы:
и
На практике ненулевая часть компонентов и часто ограничивается продолжительностью , но ничто в теореме этого не требует.
Коэффициенты ряда Фурье:
где обозначает интеграл ряда Фурье. Поточечное произведение также -периодично, и его коэффициенты ряда Фурье задаются дискретной свёрткой и : Свёртка:
также Р-периодична и называется периодической свёрткой.
Соответствующая теорема свёртки имеет вид:
Функции дискретной переменной (последовательности) Аналогично ур. 1 выводится теорема для случая последовательностей, например, выборок двух непрерывных функций, где теперь F обозначает оператор . Рассмотрим две последовательности и с преобразованиями и :
Дискретная свёртка и определяется:
Теорема о свёртке для дискретных последовательностей имеет вид:
Периодическая свёртка и , как определено выше, являются периодическими с периодом 1. Рассмотрим -периодические последовательности и :
и
Эти функции возникают в результате выборки и с интервалом в и обратного дискретного преобразования Фурье (ДПФ) на N выборках. Дискретная свёртка имеет вид:
она также является -периодической и называется периодической свёрткой. Переопределим оператор как N-значное ДПФ, тогда соответствующая теорема имеет вид:
И следовательно:
При соответствующих условиях возможно, что -значная последовательность содержит не содержащий искажений сегмент свёртки . Но когда ненулевая часть или последовательности равна или длиннее, чем , неизбежны некоторые искажения. Так происходит, когда последовательность 𝑉(𝑘/𝑁) получается путём прямой дискретизации DTFT бесконечно длинного импульсного отклика § Дискретного преобразования Гильберта.
Для последовательностей и , ненулевая длина которых меньше или равна , окончательное упрощение имеет вид:
Эта форма часто используется для эффективной реализации численной свёртки на компьютере. В качестве частичной взаимности было показано , что любое линейное преобразование, превращающее свёртку в точечное произведение, является ДПФ (вплоть до перестановки коэффициентов).
Вывод во временной области осуществляется следующим образом:
ДВПФ можно записать в виде:
Произведение тем самым сводится к дискретно-частотной функции:
где эквивалентность и следует по свойству выборки ДВПФ. Таким образом, эквивалентность (5a) и (5b) требует:
Мы также можем проверить обратное ДВПФ из (5b):
Теорема свёртки для обратного преобразования Фурье Существует также теорема свёртки для обратного преобразования Фурье. Здесь «» представляет собой произведение Адамара, а «» представляет свёртку двух матриц.
так что
Теорема свёртки для обобщённых функций умеренного роста Теорема о свёртке распространяется на обобщённые функции умеренного роста. Здесь v — произвольная обобщённая функция умеренного роста:
Но должно «быстро убывать» по направлению к и , чтобы гарантировать существование как свёртки, так и её произведения. Эквивалентно, если — гладкая «медленно растущая» обыкновенная функция, то она гарантирует существование как умножения, так и произведения свёрток.
В частности, каждое компактно поддерживаемая обобщённая функция умеренного роста, например, дельта-функция, является «быстро убывающей». Эквивалентно, полосовые функции, такие как функция, которая постоянно равна , являются гладкими «медленно растущими» обычными функциями. Если, например, является гребнем Дирака, то оба уравнения дают , и если, кроме того, является дельта-функцией, то постоянно равно единице, и эти уравнения дают тождество гребня Дирака.
Замечания
Примечания
Литература
Категория:Преобразование Фурье