Задача о перемещении дивана была сформулирована канадским математиком австрийского происхождения в 1966 году.
Постановка задачи Задача сводится к двумерной идеализации житейской проблемы о перемещении мебели. В двумерном пространстве определите жёсткое тело наибольшей площади А, которое может быть перемещено в Г-образном «коридоре», образованном «тоннелями» шириной в единицу измерения, сходящимися под прямым углом. Полученное значение А принято называть константой дивана (в альтернативных формулировках той же самой задачи этот предмет является идеализацией стола, или же баржи или корабля в Г-образном канале).
Поиски решения
Так как полукруг единичного радиуса легко проводится за угол «коридора», оценкой снизу для константы дивана является . Простая оценка сверху показывает также, что константа дивана не превышает Я. Стюарт, Another Fine Math You’ve Got Me Into, Courier Dover Publications, 2004., где величина является наибольшей длиной отрезка, который может быть перемещен в данном коридоре.
существенно повысил оценку снизу до с помощью фигуры, напоминающей телефонную трубку (см. рис.), состоящей из двух четвертей кругов единичного радиуса по обеим сторонам от прямоугольника с удалённым полукругом радиуса Задача о перемещении дивана на Mathsoft (содержит диаграмму дивана Гервера)Форум Gambler.ru — Тема: Коридор, Г (содержит диаграмму дивана Гервера).
В 1992 году Джозеф Гервер дополнительно улучшил оценку константы дивана снизу до . Его фигура ограничена восемнадцатью дугами аналитических кривых.
В июне 2017 Йоав Каллус и Дэн Ромик улучшили оценку сверху для константы дивана до .
В 2024 году был опубликован препринт, согласно которому решение Гервера является оптимальным.
Численная оптимизация Численная оптимизация позволяет определить константы дивана для различных стандартных кривых.
В диване Хаммерсли используются внешние круги единичного радиуса, но если снять это ограничение, то константу дивана можно повысить до ~2.21302924761374 при этом внешние четверти кругов будут иметь радиус ~0.91363796343492 и общая длина будет равна ~3.21033227646884. Назовем такой диван обобщенным диваном Хаммерсли.
Разбив внешний круг на два круга, с точкой касания при касательной в 45 градусов, можно получить константу дивана ~2.21918785. Радиус окружности при основании R1~1.16134066, а её центр смещен вниз на B~0.01740046. Радиус верхней окружности равен R2~0.71499114, а длина дивана L~3.22797195. Если дополнительно произвести оптимизацию с учётом угла наклона касательной, в точке касания внешних кругов, то можно получить константу дивана ~2.219237814, при этом R1~1.19650, B~0.02777, R2~0.72655, касательная при 39.86407 градусах и L~3.22848.
Примечания
Категория:Комбинаторная геометрия Категория:Математические гипотезы Категория:Открытые математические проблемы