Вну́тренность множества — понятие в общей топологии, обозначающее объединение всех открытых подмножеств данного множества. Точки внутренности называются внутренними точками.

Внутренность множества обычно обозначается как , или .

Определение Пусть дано топологическое пространство где  — произвольное множество, а  — определённая на нём топология. Пусть также дано подмножество .

Ниже рассматривается открытость подмножеств как подмножеств всего (например, обязательно открыто как подмножество себя, но не обязательно открыто во всём топологическом пространстве), при этом явно не указывается, а открытость в нём обозначается как принадлежность .

Тогда внутренность множества можно определить несколькими эквивалентными способами: Внутренность — объединение всех открытых подмножеств : . Внутренность — наибольшее по включению открытое подмножество : .

Внутренность — множество всех внутренних точек, где точка называется внутренней тогда и только тогда, когда существует открытое множество , такое что : . Эквивалентность определений следует из того факта, что объединение любого семейства открытых множеств открыто.

Свойства Операция внутренности является унарной операцией на семействе всех подмножеств . Внутренность  — открытое множество. Множество открыто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своей внутренностью: . Иначе говоря, в открытом множестве все точки внутренние, а любое множество, все точки которого внутренние, является открытым. Операция внутренности идемпотентна: . Операция внутренности сохраняет частичный порядок подмножеств по включению: . В метрическом пространстве определение внутренней точки принимает следующий вид. Пусть  — метрическое пространство с метрикой , и  — его подмножество. Точка является внутренней для тогда и только тогда, когда существует , такое что . Иначе говоря, входит в вместе с шаром радиуса с центром в .

Примеры

Если  — конечное подмножество евклидова пространства со стандартной топологией, то . Если  — вещественная прямая со стандартной топологией, и , то Если  — дискретное пространство, то для любого имеем .

Вариации Относительная внутренность

Относительной внутренностью множества называется объединение всех его открытых в его афинной оболочке подмножеств.

Квазотносительная внутренность

Алгебраическая внутренность

Литература Кудрявцев Л. Д. — Математический анализ. Том 1.

См. также Внешность Граница Замыкание Изолированная точка Открытое множество Предельная точка Словарь терминов общей топологии ε-окрестность

Категория:Общая топология