Возду́шная ма́сса — мера количества воздуха на луче зрения при наблюдении небесного светила сквозь атмосферу Земли. Применяется для расчёта потери силы света и светимости в астрономии и актинометрии.

Выражается как интеграл плотности воздуха по лучу зрения:

По мере проникновения в атмосферу свет ослабляется за счёт рассеяния и поглощения; чем толще слой воздуха, через который он проходит, тем больше ослабление. Следовательно, небесные светила ближе к горизонту кажутся менее яркими, чем ближе к зениту. Это ослабление, известное как атмосферная экстинкция, количественно описывается законом Бугера — Ламберта — Бера. Абсолютная воздушная масса, определённая вышеуказанной формулой, имеет размерность поверхностной плотности (число единиц массы на единицу площади, например г/см2 или кг/м2). Абсолютная воздушная масса в зените, измеренная в неподвижной атмосфере, равна атмосферному давлению, делённому на ускорение свободного падения (если пренебречь изменением ускорения свободного падения с высотой в атмосфере): Для стандартной атмосферы на уровне моря на широте 45° абсолютная зенитная воздушная масса равна .

Термин «воздушная масса» обычно означает относительную воздушную массу, отношение абсолютной воздушной массы (определённой как указано выше) при наклонном падении к абсолютной воздушной массе в зените:

где  — зенитный угол (угол между направлением на источник и направлением на зенит из точки наблюдения). В этом определении воздушная масса является безразмерной величиной. По определению, относительная воздушная масса в зените равна единице: . Воздушная масса увеличивается по мере увеличения зенитного угла, достигая значения примерно 38 на горизонте (то есть при ). Конечное значение воздушной массы на горизонте появляется лишь с учётом сферичности атмосферы; плоскопараллельная (менее реалистичная) модель атмосферы даёт значение воздушной массы стремящееся к бесконечности при , хотя вполне корректно описывающее зависимость воздушной массы от зенитного угла при .

Воздушная масса выше уровня моря может быть меньше единицы; однако большинство приближённых формул для воздушной массы не учитывают влияние высоты наблюдателя, поэтому корректировку обычно необходимо выполнять другими способами.

Ниже иногда используется термин «атмосфера» в качестве единицы воздушной массы (одна «атмосфера» равна абсолютной зенитной воздушной массе, или , и не имеет отношения к одноимённой единице давления).

Приближения в расчёте воздушной массы

В расчёте воздушной массы существует несколько приближений. Первое приближение почти идеально рассчитывает воздушную массу для высот светил от 90° до 30° и удовлетворительно от 30° до 10—15° над горизонтом. Оно самое простое: принимается модель плоскопараллельной бесконечной атмосферы с постоянной плотностью и конечной высотой, равной 1, и число воздушных масс определяется вычислением секанса зенитного расстояния в градусах:

Второе приближение: принимается модель сферической изотермической атмосферы с постоянной плотностью и конечной высотой. Имеет существенное значение в 10—15° от горизонта, особенно на последних 5°, где по первому приближению быстро накапливается ошибка и на горизонте атмосферная масса устремляется в бесконечность (см. второй график и таблицу с расчётными данными).

Формула Ламберта для второго приближения:

где  — радиус Земли, км,  — высота однородной атмосферы, км

Третье приближение добавляет искривление и удлинение пути светового луча из-за рефракции в атмосфере, играет роль для высоты светила от 0° до 5—10° от горизонта.

Формула Лапласа в упрощённом полуэмпирическом виде для третьего приближения:

- в изложении Джеймса Форбса и : = Refr./(58,36′′ · sin ); - по И. А. Белановскому: . - по Г. В. Розенбергу: ,

где: Refr — показатель рефракции в секундах, брался в теории Джеймса Ивори (Айвори) от 1838 года;  — угол астрономической рефракции; 58,36′′ — среднее значение постоянной рефракции;  — показатель преломления воздуха на уровне моря; .

Четвёртое приближение состоит в учёте температуры воздуха. С падением температуры воздушная масса растёт. Четвёртое приближение рассматривает многослойную атмосферу и учитывает не только сезонные и погодные приземные колебания, но и изменение температуры с высотой. Имеет смысл для высот от 0° до 5° над горизонтом.

Пятое приближение вносит поправку на изменение атмосферного давления. Снижение давления с высотой может существенно уменьшить воздушную массу на большой высоте. На уровне моря и на обычных средних высотах суши влияние погодных колебаний атмосферного давления мало́ даже на горизонте.

Переход от одного приближения к другому, по идее, должен давать всё более верный результат. Но это не всегда так, поскольку в последовательно усложняющихся расчётах появляется много новых факторов, зависящих от уровня знаний об атмосфере, выбор которых может значительно изменить конечные цифры. Например, формула Ламберта второго приближения могла дать более правильные результаты, почти совпадающие с четвёртым приближением Бемпорада, чем расчёт для третьего приближения Лапласа.

Но доже при абсолютном знании раз и навсегда рассчитать точную воздушную массу для каждого угла невозможно, так как учёт всех изменчивых атмосферных условий и выбор длины волны света всегда вносит некоторый разброс в конечных результатах, доходящий около горизонта до нескольких единиц атмосфер. Но можно вычислить приближающиеся к реальным значениям цифры в усреднённых условиях.

На горизонте, где наибольшие расхождения по разным приближениям, на уровне моря возможны следующие значения атмосферной массы:  — первое приближение: бесконечное число;  — второе приближение: 35,5 по Бугеру, 35,5 и 39,9 атмосфер по Ламберту в зависимости от вводных в формулы данных, однако современные расчёты для более реалистичной модели воздушной оболочки Земли без учёта рефракции дают 32 атмосферы;  — третье приближение: 35,5 и 44 атмосферы по Лапласу;  — четвёртое приближение: 35—42 атмосферы при разных моделях атмосферы, а на один градус от горизонта выше при возможных приземных температурах от +60 до −60 °C разница составляет 5 атмосфер. В Антарктиде иногда наблюдаются более низкие температуры, но это бывает только в глубине материка на высоте 3—4 км.

Считается, что для расчётов в астрономии и актинометрии достаточно первого и второго приближений (модель сферической атмосферы по Ламберту, см. таблицу), применение третьего уже избыточно, учёт остальных факторов носит больше теоретический интерес. Дело в том, что астрономические наблюдения и фотометрия до 15° от горизонта проблематичны и малоэффективны, а освещённость от невысокого утреннего и вечернего Солнца больше зависит от наличия аэрозолей и водяных паров в неидеальной атмосфере, чем от колебаний температуры и давления.

История расчётов воздушной массы Первым расчёт воздушных масс во втором приближении, то есть с учётом кривизны Земли и атмосферы, сделал в первой половине XVIII века родоначальник теории поглощения света Пьер Бугер, причём его вычисления были довольно близки к современным. Он же указал на возможность применения третьего приближения (искривление луча в атмосфере), но считал, что в большинстве случаев для расчётов это не обязательно.

Затем формулы для расчёта во втором и в третьем приближении вывели во второй половине XVIII века Ламберт и в начале XIX века Лаплас.

В конце XIX века немецкий астроном предложил определять воздушную массу чисто практически по изменению яркости звёзд за счёт поглощения света в атмосфере в зависимости от высоты над горизонтом. Несмотря на кажущуюся очевидность этого метода, всё же он даёт цифры скорее оценочно-приближённые, чем верные. В нём не учитывается, во-первых, влияние неравномерного распределения аэрозолей на снижение яркости светил, а во-вторых, действие рефракции и снижение температуры с высотой, увеличивающие длину пути света как раз в почти свободных от аэрозолей верхних слоях атмосферы. Результаты получаются на средних углах несколько преувеличенные, а ближе к горизонту, где вступает в полную силу рефракция — преуменьшенные, см. таблицу ниже. На последних двух градусах метод вообще не работает: звёзды теряются в дымке и перестают быть видимы. Но всё же метод хорош для практической астрономии, так как позволяет без дополнительных расчётов оценить видимость звёзд в хороших условиях наблюдения.

Следующим после Лапласа большой вклад в теорию внёс итальянский учёный . В 1904 году он опубликовал формулы с учётом кривизны Земли, атмосферной рефракции и падения температуры с высотой; без компьютера и калькулятора рассчитал и составил очень подробную таблицу воздушных масс с точностью до третьего знака после запятой для высот Солнца с подробностью до градусов и минут в атмосфере с параметрами среднеевропейской широты 45° для температуры 0 °C и наиболее хорошо видимой длины волны 550 нм, а также рассчитал множество поправочных коэффициентов для различных приземных температур и давлений. Эти значения долгое время служили эталоном для астрофизических и актинометрических расчётов, но затем неоднократно пересматривались, поскольку они базировались на известных тогда параметрах атмосферы только до высоты 10 км, а остальную атмосферу Бемпорад экстраполировал, считая, что температура её так и продолжает падать с высотой вплоть до космоса. Стратосфера и подъём температуры с высотой тогда были ещё не открыты.

Впоследствии формулы и таблицы воздушных масс были опубликованы многими авторами. Также придумано много формул интерполяции, «подгоняющих» зависимость атмосферной массы от угла к табличным значениям и применяемых для получения результата под интересующим углом, отсутствующим в таблице. Некоторые из этих формул, вначале дающие хорошие результаты, ближе к горизонту теряют применимость, и кривые их имеют курьёзный вид, см. график справа. На нём представлены расчётные кривые по следующим интерполяционным формулам.

Формула Харди, 1962 год:

Формула Янга и Ирвина, 1967 год :

Формула Янга для атмосферы без рефракции, 1994 год:

Формула Пикеринга, 2002 год:

Свои расчёты атмосферной массы предлагались советскими учёными В. Г. Фесенковым и Н. М. Штауде, причём последняя пробовала рассчитывать воздушные массы в условиях сумерек для положений Солнца до 3° за горизонтом. А Г. В. Розенберг представил достаточно компактную формулу интерполяции, которая даёт удовлетворительные результаты на всех углах от горизонта (см. график):

где  — зенитный угол.

В 1965 году Фриц Кастен сделал новые таблицы и формулы расчёта воздушной массы, составленные по современным на тот момент параметрам стандартной атмосферы от 1959 года, основанных на прямых измерениях при помощи геофизических ракет и космических аппаратов. Согласно этой работе у горизонта получалось 36,265 единиц атмосфер. В 1989 году Кастен совместно с Эндрю Янгом опубликовали уточнённые данные воздушных масс в соответствии со стандартной атмосферой от 1972 года при среднемировой температуре 15 °C, давлении 760 мм рт. ст. и усреднённой длине волны света 700 нм, выдержки из которых представлены в таблице ниже, а также новую аппроксимационную формулу, дающую хорошие результаты при всех углах светил:

где  — угловая высота. С цифрой у горизонта 38 атмосфер эта работа снова приблизилась к результатам работы Бемпорада, подтвердив её долговременную живучесть как авторитетного источника.

Таблицы воздушных масс можно найти во многих физических, астрофизических и астрономических справочниках, как, например, работа Аллена, опубликованная в 1950—70-е годы. Как правило, они основаны на хорошо себя зарекомендовавшем и теперь уже историческом труде Бемпорада, но так как его цифры с учётом его же поправок мало отличаются от более современных исследований, то вполне могут использоваться в целых числах атмосфер для большинства вычислений.

Результаты расчётов воздушной массы