Многозначная логика — это логика, в которой логические выражения могут принимать значения из множества, содержащего более, чем два элемента. При этом некоторые из этих значений считаются истинными. Такими свойствами многозначная логика отличается от классической логики Аристотеля, в которой логические выражения могут принимать только одно из двух возможных значений — «истина» или «ложь». Однако классическая двухзначная логика может быть дополнена до n-значной с n > 2.
Найпопулярнейшими в литературе являются трёхзначная логика (например, логика Яна Лукасевича и Стивена Клини, которая принимает значения «истина», «ложь» и «неизвестно»), (может иметь более трёх значений) и логики (сюда относят вероятностную логику с непрерывной шкалой значений истинности от 0 до 1, а также нечёткую логику).
В жизни же найпопулярнейшей является десятизначная (десятичная) логика на множестве целых десятичных чисел {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Например, многие почти каждый день складывают два одноразрядных десятичных целых числа, не зная, что при этом они производят логическую операцию (функцию) десятичного одноразрядного бинарного (двухаргументного) сложения.
История Первым известным ученым, который не полностью принимал и полагался на закон исключённого третьего, был Аристотель (который, по иронии судьбы, был признан «отцом классической логики»). Аристотель признавал тот факт, что его законы не всегда могут быть применены к будущим событиям, однако он не стал обобщать двухзначную логику на n-мерный случай, чтобы устранить неточности.
До конца XIX столетия математики следовали законам Аристотелевской логики, в основе которой был закон исключённого третьего. Однако в XX веке интерес к многозначной логике начал расти. Так, например, польский математик и философ Ян Лукасевич начал разрабатывать первую систему многозначной логики, использующей третье значение — «нейтрально», чтобы преодолеть сформулированный Аристотелем . Тем временем американский математик Эмиль Пост представил работу, в которой была описана возможность введения дополнительных истинностных значений при . Чуть позже и Лукасевич в соавторстве с Альфредом Тарским смогли повторить успех Поста, сформулировав основные принципы n-значной логики при В 1932 году Ханс Райхенбах обобщил эти принципы при
В 1932 году Курт Гёдель показал, что интуиционистское исчисление не является конечномерным и ввёл свою систему (Гёделевское исчисление, англ. Gödel logic) как промежуточное звено между классической логикой и интуиционистской. Гёделевское исчисление позже стало называться «промежуточной» логикой (англ. intermediate logic).
Основные сведения
Основные статьи: трёхзначная логика, четырёхзначная логика, девятизначная логика
Для описания многозначных пропозициональных логик используются, так называемые логические матрицыКарпенко А. С. Логики Лукасевича и простые числа. М.: Наука, 2000. Ковалев С. П., «Математические основания компьютерной арифметики», Матем. тр., 8:1 (2005), 3-42; Siberian Adv. Math., 15:4 (2005), 34-70. Дата обращения: 19.06.2021, то есть алгебраические системы вида , где — универсум, — функциональные символы, — одноместный предикатный символ. Элементам универсума соответствуют логические значения, а функциональным символам — логические связки (операции), поэтому термы сигнатуры представляют собой логические формулы. Если логическая формула такова, что , то она называется общезначимой или тавтологией данной логической матрицы, при этом предикат определяет подмножество логических значений, которые трактуются как истинные. Таким образом, строятся матричные представления пропозициональных логик — множеств тавтологий в языке, состоящем из имен переменных и связок.
Любая функция , в том числе выраженная формулой многозначной логики, где , может быть представлена в виде совершенной дизъюнктивной нормальной формы (СДНФ) многозначной логики, следующим образом: , где операция конъюнкции:
символ обозначает операцию дизъюнкции:
а операторы Россера — Тюркетта:
K логика Клини и P логика Приста Логика неопределённости Клини (иногда обозначают ) и «логика парадокса» вводят третье «неопределённое» или «промежуточное» значение I. Таблицы истинности для отрицания (¬), конъюнкции (˄), дизъюнкции (˅), импликации (→) и эквиваленции (↔), выглядят следующим образом:
¬ ∧ ∨
Отличие двух логик состоит в различном определении тавтологии алгебры высказываний (Тавтология — тождественно истинное высказывание, инвариантное относительно значений своих компонентов). В только T определено как истинное значение, в то время как в и T и I определены в качестве истины. В логике Клини I является «неопределённой» величиной, не являющейся «истиной» или «ложью»; в логике Приста I является «переопределённой» величиной, являющейся одновременно и «истиной», и «ложью». не содержит тавтологий, а содержит те же тавтологии, что и классическая двухзначная логика.
Внутренняя трёхзначная логика Бочвара Другим примером может служить «внутренняя» трёхзначная логика Бочвара , полученная в 1938 году Дмитрием Анатольевичем Бочваром. Её также называют слабой трёхзначной логикой Клини. Таблицы истинности для отрицания и эквивалентности остаются прежними, а для трёх других операций принимают вид:
В внутренней логике Бочвара I может быть описана как «независимая», поскольку её значение не зависит от значений T и F.
Логика Бельнапа B Логика, предложенная Нуэлем Бельнапом, объединяет в себе и . «Переопределённая» величина обозначается через B, а «недоопределённая» — через N.
Логика Гёделя G и G
В 1932 году Гёдель определил семейство многозначной логики с конечным набором значений:
Например, для значениями будут
Для значения примут вид:
Похожим образом Гёдель определил логику с бесконечным количеством значений . Все значения в являются действительными числами, принадлежащими интервалу [0, 1]. Истиной в такой логике является 1.
Конъюнкция (˄) и дизъюнкция (˅) определяются как минимальное/максимальное значение следующих выражений:
Отрицание (¬) и импликация (→) определяются следующим образом:
Логика Гёделя полностью аксиоматизируема, поэтому возможно определить логическое исчисление, в котором все тавтологии могут быть доказаны.
Логика Лукасевича L и L Импликация (→) и отрицание (¬) были определены Лукасевичем с помощью следующих функций:
Вначале Лукасевич использовал эти определения в 1920 при описании логики со значениями .
В 1922 он описал бесконечнозначную логику , все значения которой лежали в интервале [0, 1] и представляли собой действительные числа. В обоих случаях истиной являлась 1.
Описывая значения подобным Гёделю способом, а именно: можно создать конечнозначное семейство логик , а также логику , в которых значения также представлены рациональными числами и лежат в интервале [0, 1]. Множество тавтологий в и идентичны.
Результирующая логика Π В результирующей логике мы имеем значения, принадлежащие интервалу [0,1], для которых конъюнкция (ʘ) и импликация (→) определяются следующим образом:
Ложным значением в данной логике является 0. Через него возможно определить операции отрицания (¬) и конъюнкции по сложению (˄):
Логика Поста P В 1921 Пост определил семейство логик с значениями:
. (аналогично логикам и ). Отрицание (¬), конъюнкция (˄) и дизъюнкция (˅) определены следующим образом:
Логика Роуза В 1951 году Алан Роуз описал семейство логик для систем, чьи значения образуют решетки.
Семантика
Матричная семантика (логические матрицы)
Связь с классической логикой Логика — это система с набором правил, предназначенная для сохранения свойств предложений при различных преобразованиях. В классической логике это свойство — «истина».
Многозначная логика предназначена для сохранения свойства обозначения. Поскольку в ней присутствует более двух «истинных» значений, правила вывода могут быть применены для сохранения дополнительных данных, которые могут не соответствовать истине. Например, трёхзначная логика может иметь два значения, соответствующих «истине» разной градации (например, они могут быть положительными целыми числа), и правила вывода сохраняют эти значения.
Например, сохранённое свойство могло быть подтверждением, играющим важную роль в интуиционистской логике. Мы не рассматриваем его истинность или ложность; вместо этого мы работаем с такими понятиями как подверженность и ошибочность.
Ключевое различие между подтверждением и истиной заключается в том, что закон исключённого третьего в данном случае не выполняется: утверждение, не являющееся ошибочным, не обязательно будет подтверждено; вместо этого доказано только, что оно не ошибочно. Ключевым отличием является определённость сохраняемого свойства: можно показать, что P подтверждено, что P некорректно, или не является ни тем, ни другим. Корректный аргумент сохраняет обоснованность при преобразованиях, поэтому утверждение, полученное на основе обоснованных утверждений, остается обоснованным. Тем не менее в классической логике есть доказательства, которые напрямую зависят от закона исключённого третьего; поскольку этот закон неприменим в рамках данной схемы, существуют утверждения, которые нельзя доказать подобным образом.
Тезис Сушко Основная статья: Принцип бивалентности
XX век ознаменовался бурным развитием систем многозначных логик, представленных в настоящее время огромным количеством исследований и статей. Однако по мере увеличения количества различных формальных систем, встал вопрос об интерпретации полученных результатов. Ученые остро осознали необходимость сведения (редукции) многозначных логик к единой основе.
В качестве одного из вариантов подобной основы может служить обычная классическая логика. Наиболее ярким представителем данного подхода является польский логик Роман Сушко, предложивший свой алгоритм сведения любой многозначной логики к классической двузначной и сформулировавший принцип, который впоследствии стали называть «тезисом Сушко». Согласно этому принципу для любой многозначной логики можно получить бивалентную семантику, описывающую данную логику.
Функциональная полнота многозначной логики Функциональная полнота — это термин, использующийся для описания специальных свойств конечных логик и алгебр.
Логический набор является функционально полным тогда и только тогда, когда множество операций этого набора может быть использовано для описания формулы, соответствующей всевозможным .
Функционально полная алгебра — алгебра, в которой каждое конечное отображение может быть выражено через композицию введённых на ней операций.
Классическая логика: является функционально полной, в то время как или бесконечнозначная логика таким свойством не обладает.
Мы можем определить конечнозначную логику следующим образом: , где и n принадлежит множеству натуральных чисел. Эмиль Пост в 1921 доказал, что если логика способна произвести функцию m-ого порядка, то существует комбинация операторов в , которая произведет функцию m+1 порядка.
Бесконечнозначные логики Бесконечнозначную логику можно ввести следующим образом: истинностное значение находится в отрезке действительных чисел от 0 до 1; отрицание определяется как: ¬A = 1−A; конъюнкция определяется как: A∧B = min(A, B); дизъюнкция определяется как: A∨B = max(A, B).
К формальным системам бесконечнозначной логики могут быть отнесены системы R-функций В. Л. РвачёваРвачев В. Л. Теория R-функций и некоторые её приложения. — Киев: Наук. думка 1982..
Теория вероятностей и многозначные логики
Может показаться, что теория вероятностей очень похожа на бесконечнозначную логику: вероятность соответствует истинностному значению (1=истина, 0=ложь), вероятность ненаступления какого-либо события соответствует отрицанию, вероятность одновременного наступления двух событий соответствует конъюнкции, а вероятность наступления хотя бы одного из двух событий соответствует дизъюнкции.