Q-символ Похгаммера, который называется также сдвинутым q-факториалом, это q-аналог символа Похгаммера и определяется он как
,
при этом
по определению. Q-символ Похгаммера является главным строительным блоком в строительстве q-аналогов. Например, в теории q-символ Похгаммера играет роль, какую играет обычный символ Похгаммера в теории .
В отличие от обычного символа Похгаммера, q-символ Похгаммера может быть расширен до бесконечного произведения:
Это аналитическая функция от q внутри единичного круга и может восприниматься как формальный степенной ряд от q. Специальный случай
известен как и играет важную роль в комбинаторике, теории чисел и теории модулярных форм.
Тождества Конечное произведение можно выразить через бесконечное:
что расширяет определение для отрицательных целых n. Таким образом, для неотрицательного n имеем
и
Q-символ Похгаммера участвует во многих тождествах с q-рядами, в частности в бесконечном расширении рядов
и
,
которые являются частными случаями q-биномиальной теоремы:
Фридрих Карпелевич нашёл следующее тождество (см. статью Ольшанецкого и Рогова для доказательства):
Комбинаторная интерпретация
Q-символ Похгаммера тесно связан с перечислительной комбинаторикой разбиений. Коэффициент при в
равен числу разбиений m на не более чем n частей.
Поскольку это то же самое, что разбиение m на части, каждая из которых не превосходит n, получаем следующее тождество:
, как в разделе выше.
Коэффициент при в
равен числу разбиений числа m на n или n-1 различных частей.
Если удалить треугольное разбиение с n − 1 частями из такого разбиения, мы останемся с некоторым разбиением на не более чем n частей. Это даёт сохраняющее веса биекцию между множеством разбиений на n или n − 1 различных частей и множество пар, состоящих из треугольного разбиения, содержащего n − 1 частей, и разбиения на не более чем n частей. Это приводит к тождеству:
также описанному выше. Обратная (в смысле 1/f) функция для возникает аналогичным образом как производящая функция для функции разбиения числа, , которая также разлагается в следующие два q-ряда:
Q-биномиальная теорема сама может быть доказана с помощью слегка большего использования похожих комбинаторных аргументов.
Соглашение о множественных аргументах
Поскольку тождества, использующие q-символы Похгаммера, часто используют произведение многих символов, принято соглашение записывать произведение в виде одного символа с несколькими аргументами:
Q-ряды
Q-ряд является рядом, в котором коэффициенты являются функциями от q, обычно в виде выражений с . Ранние результаты принадлежат Эйлеру, Гауссу и Коши. Систематичное изучение начал Эдуард Гейне (1843).
Связь с другими q-функциями
Принимая во внимание, что
мы определяем q-аналог числа n, известный также как q-скобка или q-число числа n, равным
Отсюда мы можем определить q-аналог факториала, q-факториал
Снова можно обнаружить, что обычный факториал равен пределу при q, стремящемся к 1. Это можно интерпретировать как число флагов в n-мерном векторном пространстве над полем с q элементами, а переход q в пределе к 1 даёт интерпретацию упорядочения как флага в векторном пространстве над .
Произведение отрицательных целых q-скобок можно выразить в терминах q-факториала следующим образом:
От q-факториалов можно перейти к определению q-биномиальных коэффициентов, известных также как гауссовы коэффициенты, гауссовы многочлены или гауссовы биномиальные коэффициенты, следующим образом
откуда легко видеть, что треугольник этих коэффициентов симметричен в том смысле, что для всех .
Можно показать, что
Можно заметить из предыдущих рекурсивных отношений, что следующие варианты -биномиальной теоремы являются расширениями в терминах этих коэффициентов:
Можно получить q-аналог гамма-функции, называемый и определённый как
Функция сходится к обычной гамма-функции при q, стремящемся к 1 изнутри диска. Заметим, что
для любого x и
для неотрицательных целочисленных значений n. Альтернативно, функцию можно взять как расширение q-факториала в системе вещественных чисел.
См. также
Тета-функция Якоби Символ Похгаммера q-производная
Примечания
Литература
Ссылки
Категория:Теория чисел Категория:Q-аналоги