Неравенство Богомолова — Миаоки — Яу — это неравенство
между компактных комплексных поверхностей общего вида. Главный интерес в этом неравенстве — возможность ограничить возможные топологические типы рассматриваемого вещественного 4-многообразия. Неравенство доказали независимо Яу и Миаоки, после того как Ван де Вен и Фёдор Богомоловдоказали более слабые версии неравенства с константами 8 и 4 вместо 3.
Борель и Хирцебрух показали, что неравенство нельзя улучшить, найдя бесконечно много случаев, в которых выполняется равенство. Неравенство неверно для положительных характеристик — Ленг и Истон привели примеры поверхностей с характеристикой p, такие как , для которых неравенство не выполняется.
Формулировка неравенства Обычно неравенство Богомолова — Миаоки — Яу формулируется следующим образом.
Пусть X — компактная комплексная поверхность , и пусть и — первый и второй комплексного касательного расслоения поверхности. Тогда
Более того, если выполняется равенство, то X является фактором шара. Последнее утверждение является следствием подхода Яу в дифференциальной геометрии, который основывается на его разрешении .
Поскольку является топологической характеристикой Эйлера, а по , где является сигнатурой формы пересечений на второй когомологии, неравенство Богомолова — Миаоки — Яу можно переписать как ограничение на топологический тип поверхности общего вида:
и более того, если , универсальное покрытие является шаром.
Вместе с неравенство Богомолова — Миаоки — Яу устанавливает границы при поиске комплексных поверхностей. Рассмотрение топологических типов, которые могут быть реализованы как комплексные поверхности, называется . См. статью .
Поверхности с c12 = 3c2 Пусть X — поверхность общего типа с , так что в неравенстве Богомолова — Миаоки — Яу имеет место равенство. Для таких поверхностей Яу доказал, что X изоморфно фактору единичного шара в по бесконечной дискретной группе. Примеры поверхностей, для которых выполняется равенство, найти трудно. Борель показал, что существует бесконечно много значений , для которых поверхности существуют. Мамфорд нашёл ложную проективная плоскость с , которая имеет минимальное возможное значение, поскольку всегда делится на 12, а Прасад и Йен, а также Картрайт и Стегер показали, что существует ровно 50 ложных проективных поверхностей.
Бартель, Хирцебрух и Хёфер дали метод поиска примеров, который, в частности, даёт поверхности X с . Исида нашёл фактор такой поверхности с и если взять неразветвлённые покрытия этого фактора, получим примеры с для любого положительного k. Картрайт и Стегер нашли примеры с для любого положительного целого n.
Примечания
Литература
Категория:Алгебраические поверхности Категория:Комплексные поверхности Категория:Дифференциальная геометрия и топология Категория:Неравенства