Существует единственное аффинное преобразование, которое переводит правильный треугольник в данный треугольник. Образ вписанной окружности правильного треугольника при таком преобразовании является эллипсом, который называют вписанным эллипсом Штейнера, а образ описанной окружности также является эллипсом, который называют описанным эллипсом Штейнера.
Определение вписанного эллипса Штейнера В треугольник можно вписать бесконечно много эллипсов. Однако в треугольник можно вписать единственный эллипс, который касается сторон в их серединах. Такой эллипс называется вписанным эллипсом Штейнера. Его перспектором будет центроид треугольника. Определение перспектора коники (включая конику-эллипс) см. ниже.
Определение описанного эллипса Штейнера Около треугольника можно описать бесконечно много эллипсов. Однако около треугольника можно описать единственный эллипс, который касается прямых, проходящих через вершины и параллельных сторонам. Такой эллипс называется описанным эллипсом Штейнера. Фокусы описанного эллипса Штейнера называют точками Скутина. Чевианы, проведённые через фокусы описанного эллипса Штейнера (точки Скутина), равны (теорема Скутина).
Аффинное преобразование эллипса Штейнера Если аффинным преобразованием («перекосом») перевести произвольный разносторонний треугольник в правильный треугольник, то его вписанный и описанный эллипсы Штейнера перейдут во вписанную и описанную окружности.
Определение перспектора коники В треугольник можно вписать бесконечно много коник (эллипсов, парабол или гипербол). Если в треугольник вписать произвольную конику и соединить точки касания с противоположными вершинами, то получившиеся прямые пересекутся в одной точке, называемой перспектором коники. Для любой точки плоскости, не лежащей на стороне или на её продолжении существует вписанная коника с перспектором в этой точке.
Свойства
Вписанный эллипс Штейнера имеет наибольшую площадь среди всех эллипсов, вписанных в данный треугольник, а описанный — наименьшую среди всех описанных. Вписанный эллипс Штейнера — эллипс, вписанный в треугольник и касающийся его сторон в серединах.
(Теорема Мардена) фокусы вписанного эллипса Штейнера являются экстремальными точками многочлена третьей степени с корнями в вершинах треугольника на комплексной плоскости. Перспекторы вписанных в треугольник парабол лежат на описанном эллипсе Штейнера. Фокус вписанной параболы лежит на описанной окружности, а директриса проходит через ортоцентр. Парабола, вписанная в треугольник, имеющая директрисой прямую Эйлера, называется параболой Киперта. Её перспектор — четвёртая точка пересечения описанной окружности и описанного эллипса Штейнера, называемая точкой Штейнера.
Примечания
См. также Теорема Мардена Треугольник
Категория:Геометрия треугольника Категория:Конические сечения