Группа Вейля — группа, порождённая отражениями в гиперплоскостях, ортогональных к корням корневой системы группы Ли, алгебры Ли или других алгебраических объектов.
Названа в честь Германа Вейля.
Связанные определения
Гиперплоскости, ортогональные корням корневой системы, режут Евклидово пространство на конечное число открытых областей, называемых камерами Вейля. Для группы Ли , удовлетворяющей определенным условиям (например, для связной компактной группы), и произвольного тора (не обязательно максимального) можно определить группу Вейля как фактор нормализатора тора по его централизатору ,
Группа конечна, поскольку ' имеет конечный индекс в . При этом, если — максимальный тор (и значит ), то полученная факторгруппа называется группой Вейля , и обозначается . Хотя эта конструкция зависит от выбора максимального тора, все полученные таким образом группы изоморфны. Если - компактная и связная группа Ли, то её группа Вейля изоморфна группе Вейля её алгебры Ли.
Свойства
Группа Вейля действует перестановками на камерах Вейля, это действие свободное и транзитивное. В частности, число камер Вейля равно порядку группы Вейля.
Группы Вейля являются конечными группами Коксетера. Это позволяет им быть классифицированными диаграммами Кокстера — Дынкина.
Примеры Группа Вейля алгебры Ли является симметрической группой на n элементах, . Её действие можно описать следующим образом. Если — подалгебра Картана всех диагональных матриц с нулевым следом, то действует на перестановкой диагональных элементов перестановки матриц. Это действие индуцирует действие на двойственном пространстве , которое собственно и является действием группы Вейля.
Для общей линейной группы GL максимальный тор образован подгруппой D обратимых диагональных матриц. Нормализатор подгруппы D является группой обобщенных матриц перестановок (матриц типа матриц перестановок, но с любыми ненулевыми числами, вместо единиц). Группа Вейля является симметрической группой. В этом случае отображение N → N/T расщепляется, поэтому нормализатор N является полупрямым произведением тора и группы Вейля и значит группа Вейля может быть идентифицирована с подгруппе G. В общем это не всегда так – частное не всегда расщепляется, нормализатор N не всегда полупрямое произведение и группа Вейля не всегда реализуется как подгруппа G.
См. также Группа комплексных отражений
Литература
Категория:Алгебры Ли Категория:Группы Ли