Полунепреры́вность в математическом анализе — это свойство функции более слабое, чем непрерывность. Функция полунепрерывна снизу в точке, если значения функции в близких точках не сильно меньше значения функции в ней. Функция полунепрерывна сверху в точке, если значения функции в близких точках не сильно превышают значения функции в ней.
Определения
Пусть дано полное метрическое пространство Вещественнозначная функция называется полунепреры́вной сни́зу (све́рху) в точке , если
Функция называется полунепрерывной снизу (сверху) на , если она полунепрерывна снизу (сверху) для всех .
Свойства Функция полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда множество открыто при любом Пусть суть две полунепрерывные снизу (сверху) функции. Тогда их сумма также полунепрерывна снизу (сверху). Предел монотонно возрастающей (убывающей) последовательности полунепрерывных снизу (сверху) в точке функций есть полунепрерывная функция снизу (сверху) в . Более точно пусть дана последовательность полуненпрерывных снизу (сверху) функций таких, что Тогда если существует предел то полунепрерывна снизу (сверху). Если и есть полунепрерывные функции соответственно снизу и сверху соответственно, и на всём пространстве выполнено то существует непрерывная функция , такая что (Теорема Вейерштрасса) Пусть дано компактное подмножество Тогда полунепрерывная снизу (сверху) функция достигает на своего минимума (максимума).
Примеры
Целая часть является полунепрерывной сверху функцией; Дробная часть полунепрерывная снизу. Индикатор произвольного открытого в топологии, порождённой метрикой , множества является полунепрерывной снизу функцией. Индикатор произвольного замкнутого множества является полунепрерывной сверху функцией.
Литература Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, 3 изд., М., 1974; Сакс С, Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949.
Категория:Математический анализ