Аффинная классификация кубик

Исаак Ньютон получил две классификации кубикРусский перевод «Перечисление кривых третьего порядка» в книге Исаак Ньютон, «Математические работы» (пер. с латинского Д. Д. Мордухай-Болтовского), 1937, стр. 194—209, доступно постранично on-line на . . Основываясь на второй классификации была получена аффинная классификация кубикКорчагин А. Б., Ньютонова и аффинная классификации нераспадающихся кубик, Алгебра и анализ, Т. 24(2012), № 5, стр. 94-123. Engl. transl.: Korchagin A. B., Newtonian and affine classifications of irreducible cubics, St. Petersburg Math. J., Vol. 24, 2013, pp. 759—781.. Эта классификация описана в следующей теореме.

Теорема. Существуют 59 семейств аффинных классов эквивалентности неприводимых кубик: 15 классов модальности 0; 23 семейства (классов) модальности 1; 16 семейств модальности 2; 5 семейств модальности 3; эти семейства представлены в следующем списке канонических уравнений.

Порядок перечисления семейств аффинных классов принадлежит Ньютону, для удобства он сохранён в этом списке. В каждом пункте списка указана размерность множества кубик, принадлежащих этому семейству аффинных классов. Например, каждая кубика аффинного класса с номером 1.1 аффинно эквивалентна кубике , множество кубик этого класса в пространстве всех кубик имеет размерность , а каждая кубика семейства аффинных классов с номером 1.7 аффинно эквивалентна одной из кубик однопараметрического семейства , где , множество кубик этого семейства в пространстве всех кубик имеет размерность .

Классы, полученные из кубики с точкой возврата, см. рис. 1.

1.1. ; .

1.2. ; .

1.3. ; .

1.4. ; .

1.5. ; .

1.6. ; .

1.7. , где ; .

1.8. ; .

1.9. , где ; .

Классы, полученные из кубики с петлёй, см. рис. 2.

2.1. ; .

2.2. , где ; .

2.3. ; .

2.4. , где ; .

2.5. ; .

2.6. , где ; .

2.7. , где и ; .

2.8. , где ; .

2.9. ; .

2.10. , где ; .

2.11. , где и ; .

2.12. , где ; .

2.13. , где и ; .

2.14. , где и ; .

Классы, полученные из кубики с изолированной точкой, см. рис. 3, где кубики семейств с номерами 3.1, 3.2, 3.4 — 3.8, 3.10 — 3.12 имеют изолированную точку в начале координат , а кубики семейств с номерами 3.3 и 3.9 имеют изолированную точку в точке пересечения прямой и бесконечно удалённой прямой , то есть в точке с проективными координатами .

3.1. ; .

3.2. , где ; .

3.3. ; .

3.4. , где ; .

3.5. ; .

3.6. , где ; .

3.7. ; .

3.8. , где ; .

3.9. , где ; .

3.10. , где и ; .

3.11. , где ; .

3.12. , где , и ; .

Классы, полученные из простой кубики, см. рис. 4.

4.1. , где ; .

4.2. , где и ; .

4.3. , где ; .

4.4. , где  и ; .

4.5. , где ; .

4.6. , где  и ; .

4.7. , где , и ; .

4.8. , где , и ; .

4.9. , где , , , , , , и ; .

Классы, полученные из кубики с овалом, см. рис. 5.

5.1. , где ; .

5.2. , где ; .

5.3. , где ; .

5.4. , где и ; .

5.5. , где ; .

5.6. , где ; .

5.7. , где ; .

5.8. , где  и ; .

5.9. , где ; .

5.10. , где и ; .

5.11. , где , и ; .

5.12. , где и ; .

5.13. , где , и ; .

5.14. , где и ; .

5.15. , где , , , , , ; .

См. также Аффинная эквивалентность Изометрическая эквивалентность Классификации кубик Ньютона

Литература

Категория:Алгебраические кривые