Тороидальный многогранник — это многогранник, который является также тороидом (тор с g дырами), имеющий топологический род, g, равный 1 или выше.
Варианты определения Тороидальные многогранники определяются как набор многоугольников, которые имеют общие вершины и рёбра, образуя многообразие. То есть, каждое ребро должно быть общим в точности для двух многоугольников, вершинная фигура каждой вершины должна быть одним циклом из многоугольников, которым данная вершина принадлежит. Для тороидальных многогранников это многообразие будет ориентированной поверхностью; , стр. 15.. Некоторые авторы ограничивают понятие «тороидальный многогранник» до многогранников, топологически эквивалентных (рода 1) тору.
Здесь следует различать вложенные тороидальные многогранники, грани которых являются плоскими не пересекающими друг друга многоугольниками в трёхмерном евклидовом пространстве, от , топологических поверхностей без определённой геометрической реализации. Серединой между этими двумя крайностями можно считать погружённые тороидальные многогранники, то есть многогранники, образованные многоугольниками или звёздчатыми многоугольниками в евклидовом пространстве, которым разрешено пересекать друг друга.
Во всех этих случаях тороидальная природа многогранников может быть проверена ориентированностью и эйлеровой характеристикой, которая для этих многогранников не положительна.
Многогранники Часара и Силаши + Многогранники Часара и СилашиМногогранник ЧасараМногогранник Силаши Два самых простых возможных вложенных тороидальных многогранника — это многогранники Часара и Силаши.
Многогранник Часара — это тороидальный многогранник с семью вершинами, 21 ребром и 14 треугольными гранями. Только этот многогранник и тетраэдр (из известных) обладают свойством, что любой отрезок, соединяющий вершины многогранника является ребром многогранника. Двойственным многогранником является многогранник Силаши, который имеет 7 шестиугольных граней, каждая пара которых смежна друг другу, обеспечивая половину теоремы о том, что максимальное значение цветов для раскраски карты на торе (рода 1) равно семи.
Многогранник Часара имеет наименьшее возможное число вершин, которое может иметь вложенный тороидальный многогранник, а многогранник Силаши имеет наименьшее возможное число граней.
Тороиды Стюарта + Тороиды СтюартаШесть шестиугольных призмЧетыре квадратных купола8 тетраэдровВосемь октаэдров Специальная категория тороидальных многогранников строится исключительно с помощью правильных многоугольных граней без их пересечения с дополнительным ограничением, что смежные грани не лежат в одной плоскости. Эти многогранники называются тороидами Стюарта по имени профессора , который исследовал их существование. Они аналогичны телам Джонсона в случае выпуклых многогранников, но, в отличие от них, существует бесконечно много тороидов Стюарта. Эти многогранники включают также торотоидальные дельтаэдры, многогранники, грани которых являются равносторонними треугольниками.
Ограниченный класс тороидов Стюарта, также определённых Стюартом, — это квазивыпуклые тороидальные многогранники. Это тороиды Стюарта, которые включают все рёбра их выпуклых оболочек. У этих многогранников каждая грань выпуклой оболочки либо лежит на поверхности тороида, либо является многоугольником, рёбра которого лежат на поверхности тороида, «Quasi-convexity and weak quasi-convexity», стр. 76—79..
Погружённые многогранники Большой додекаэдр Многогранник, образованный системой пересекающихся многоугольников в пространстве — это многогранное погружение абстрактного топологического многообразия, образованного его многоугольниками и его системой рёбер и вершин. Примеры включают (род 1), (род 3) и большой додекаэдр (род 4).
Корончатый многогранник (или стефаноид) — это тороидальный многогранник, который является многогранником, будучи как изогональным (одинаковые типы вершин), так и изоэдральным (одинаковые грани). Корончатый многогранник является самопересекающимся и топологически самодвойственным.
См. также
Сферический многогранник Тороидальный граф
Примечания
Литература . См., в частности, стр. 60.
Ссылки
Stewart Toroids (Toroidal Solids with Regular Polygon Faces) Stewart's polyhedra Toroidal Polyhedra Stewart toroids
Категория:Геометрические фигуры