+ Примеры периодических мозаикПравильная мозаика имеет один вид правильной грани.Полуправильная или однородная мозаика имеет один тип вершины, но два и более видов граней.k-однородная мозаика имеет k вида вершин и два или более видов правильных граней.Мозаики, не соединённые ребро-к-ребру, могут иметь различные размеры правильных граней Замощения евклидовой плоскости выпуклыми правильными многоугольниками широко использовался ещё с античных времён. Первое систематическое изложение было сделано Кеплером в его книге Harmonices Mundi (Гармония мира, на латинском, 1619).
Правильные мозаики Согласно Грюнбауму и , говорят, что мозаика правильная, если группа симметрии мозаики действует транзитивно на флаги мозаики, где флаг — это тройка, состоящая из взаимно смежных вершин, рёбер и плиток мозаики. Это означает, что для любой пары флагов существует операция симметрии, переводящая первый флаг во второй. Это эквивалентно мозаике соединённых ребро-к-ребру конгруэнтных правильных многоугольников. Должно быть шесть правильных треугольников, четыре квадрата или три правильных шестиугольника в каждой вершине, откуда получаем три правильных замощения.
+ Правильные мозаики (3)p6m, *632p4m, *44236(t=1, e=1)63(t=1, e=1)44(t=1, e=1)
Архимедовы, однородные, или полуправильные мозаики
Вершинная транзитивность означает, что для любой пары вершин существует симметрия (параллельный перенос также включается в симметрии), отображающая первую вершину во вторую .
Если требование транзитивности флагов ослаблено до транзитивности вершин, но условие соединения плиток ребро-к-ребру сохраняется, существует восемь дополнительных мозаик, которые известны как архимедовы, однородные, или полуправильные. Заметим, что существует две зеркальные (энантиоморфные или хиральные) формы 34.6 (плосконосых шестиугольных) мозаик и обе показаны в таблице ниже. Все остальные правильные и полуправильные мозаики ахиральны.
+ Однородные мозаики (8)p6m, *6323.122(t=2, e=2)(t=3, e=2)4.6.12(t=3, e=3)(3.6)2(t=2, e=1)p4m, *442p4, 442cmm, 2*22p6, 6324.82(t=2, e=2)32.4.3.4(t=2, e=2)33.42(t=2, e=3)Плосконосая шестиугольная мозаика(t=3, e=3) Грюнбаум и Шепард эти мозаики называют архимедовыми, как указание на локальность свойства расположения плиток вокруг вершин, для отличия от однородных, для которых вершинная транзитивность является глобальным свойством. Хотя на плоскости этими двумя свойствами обладают все мозаики, в других пространствах существуют архимедовы мозаики, не являющиеся однородными.
k-однородные мозаики + 3-однородная мозаика с номером #57 из 61 Как изотоксальная, жёлтые треугольники, красные квадратыКак 4-изоэдральная, 3 цвета для треугольников Такие периодические мозаики можно классифицировать числом орбит вершин, рёбер и плиток. Если существует орбит вершин, мозаика считается -однородной или -изогональной (равноугольной). Если существует орбит плиток, мозаика считается -изоэдральной. Если существует орбит рёбер, мозаика считается -изотоксальной (рёберно-транзитивный).
k-однородные мозаики с одинаковыми вершинными фигурами можно далее идентифицировать их симметрией группы обоев.
1-однородные мозаики включают 3 правильные мозаики и 8 полуправильных с 2 или более видами правильных многоугольных граней. Существует 20 2-однородных мозаик, 61 3-однородных мозаик, 151 4-однородных мозаик, 332 5-однородных мозаик и 673 6-однородных мозаик. Все мозаики можно сгруппировать числом m различных фигур, которые называются m-архимедовыми мозаиками k-uniform tilings by regular polygons Nils Lenngren, 2009 + Число k-однородных m-архимедовых мозаик m k123456789Всего 1110000000011 2020000000020 3 0223900000061 4 033853300000151 5 07414994150000332 6 01002841879210000673 7 ? ? ? ? ? ? 700? 8? ? ? ? ? ? 2000? 9 ? ? ? ? ? ??80? 10 ? ? ? ? ? ? ?270? 11 ? ? ? ? ? ? ??1?
Другие типы вершин в мозаик евклидовой плоскости Для евклидовых мозаик с соединением ребро-к-ребру внутренние углы многоугольников должны в сумме давать 360º. Правильный -угольник имеет внутренний угол . Существует семнадцать комбинаций правильных многоугольников, сумма внутренних углов которых равна 360º, каждая из которых называется видом вершины. В четырёх случаях существует два различных циклических порядка многоугольников, дающие двадцать один вид вершин.
Только одиннадцать из них могут появиться в однородной мозаике правильных многоугольников, приведённых в предыдущих разделах.
В частности, если три многоугольника встречаются в вершине и один имеет нечётное число сторон, два других многоугольника должны быть теми же самыми. В противном случае они должны поочерёдно окружать первый многоугольник, что невозможно при нечётной стороне сторон. Согласно этим ограничениям следующие шесть вариантов не могут присутствовать в какой-либо мозаике правильных многоугольников: + 3 многоугольника в вершинах (неиспользуемые)3.7.3.8. 243.9. 183.10. 154.5. 205.5.10
Эти четыре могут быть использованы в k-однородных мозаик: + 4 многоугольника в вершине (могут присутствовать вместе с другими видами вершин)Допустимыевидывершин 32.4.12 3.4.3.12 32.62 3.42.6Примеры2-однородныхмозаик с 36 с 3.12.12 с (3.6)2 с (3.6)2
Разрезанные правильные многоугольники Некоторые из k-однородных мозаик могут быть получены с помощью симметричного разрезания плитки мозаики внутренними рёбрами, например: + Разрезанные многоугольники рёбрами, равными рёбрам исходного многоуольникаШестиугольникДвенадцатиугольник
Некоторые k-однородные многоугольники могут быть получены разрезанием правильных многоугольников с новыми вершинами на исходных рёбрах, например:
+ Разрезание с 1 или 2 вершин на ребретреугольникквадратшестиугольник
2-однородные мозаики Существует двадцать 2-однородных мозаик евклидовой плоскости (называемых также 2-изогональными мозаиками или полуправильными мозаиками) . + 2-однородные мозаики (20)p6m, *632 p4m, *442 (t=3, e=3) [3.4.6.4; 32.4.3.4](t=4, e=4) [3.4.6.4; 33.42](t=4, e=4) [3.4.6.4; 3.42.6](t=5, e=5) (t=4, e=4) [36; 32.4.12](t=4, e=4) [3.12.12; 3.4.3.12](t=3, e=3) p6m, *632p6, 632p6, 632cmm, 2*22pmm, *2222cmm, 2*22pmm, *2222 [36; 32.62](t=2, e=3) [36; 34.6]1(t=3, e=3) [36; 34.6]2(t=5, e=7) [32.62; 34.6](t=2, e=4) [3.6.3.6; 32.62](t=2, e=3) 2(t=3, e=4) [3.42.6; 3.6.3.6]1(t=4, e=4)p4g, 4*2pgg, 2×cmm, 2*22cmm, 2*22pmm, *2222cmm, 2*22 [33.42; 32.4.3.4]1(t=4, e=5) [33.42; 32.4.3.4]2(t=3, e=6) [44; 33.42]1(t=2, e=4) [44; 33.42]2(t=3, e=5) [36; 33.42]1(t=3, e=4) [36; 33.42]2(t=4, e=5)
3-однородные мозаики Существует 61 3-однородная мозаика евклидовой плоскости. 39 являются 3-архимедовыми с 3 различными видами вершин, а 22 имеет 2 одинаковые виды вершин в различных орбитах симметрии.
3-однородные мозаики, 3 вида вершин + 3-однородные мозаики с 3 видами вершин (39)[3.426; 3.6.3.6; 4.6.12](t=6, e=7)[36; 324.12; 4.6.12](t=5, e=6)[324.12; 3.4.6.4; 3.122](t=5, e=6)[3.4.3.12; 3.4.6.4; 3.122](t=5, e=6)[3342; 324.12; 3.4.6.4](t=6, e=8)[36; 3342; 324.12](t=6, e=7)[36; 324.3.4; 324.12](t=5, e=6)[346; 3342; 324.3.4](t=5, e=6)[36; 324.3.4; 3.426](t=5, e=6)[36; 324.3.4; 3.4.6.4](t=5, e=6)[36; 3342; 3.4.6.4](t=6, e=6)[36; 324.3.4; 3.4.6.4](t=6, e=6)[36; 3342; 324.3.4](t=4, e=5)[324.12; 3.4.3.12; 3.122](t=4, e=7)[3.4.6.4; 3.426; 44](t=3, e=4)[324.3.4; 3.4.6.4; 3.426](t=4, e=6)[3342; 324.3.4; 44](t=4, e=6)[3.426; 3.6.3.6; 44](t=5, e=7)[3.426; 3.6.3.6; 44](t=6, e=7)[3.426; 3.6.3.6; 44](t=4, e=5)[3.426; 3.6.3.6; 44](t=5, e=6)[3342; 3262; 3.426](t=5, e=8)[3262; 3.426; 3.6.3.6](t=4, e=7)[3262; 3.426; 3.6.3.6](t=5, e=7)[346; 3342; 3.426](t=5, e=7)[3262; 3.6.3.6; 63](t=4, e=5)[3262; 3.6.3.6; 63](t=2, e=4)[346; 3262; 63](t=2, e=5)[36; 3262; 63](t=2, e=3)[36; 346; 3262](t=5, e=8)[36; 346; 3262](t=3, e=5)[36; 346; 3262](t=3, e=6)[36; 346; 3.6.3.6](t=5, e=6)[36; 346; 3.6.3.6](t=4, e=4)[36; 346; 3.6.3.6](t=3, e=3)[36; 3342; 44](t=4, e=6)[36; 3342; 44](t=5, e=7)[36; 3342; 44](t=3, e=5)[36; 3342; 44](t=4, e=6)
3-однородные мозаики, 2 вида вершин (2:1) + 3-однородные мозаики (2:1) (22)[(3.4.6.4)2; 3.426](t=6, e=6)[(36)2; 346](t=3, e=4)[(36)2; 346](t=5, e=5)[(36)2; 346](t=7, e=9)[36; (346)2](t=4, e=6)[36; (324.3.4)2](t=4, e=5)[(3.426)2; 3.6.3.6](t=6, e=8)[3.426; (3.6.3.6)2](t=4, e=6)[3.426; (3.6.3.6)2](t=5, e=6)[3262; (3.6.3.6)2](t=3, e=5)[(346)2; 3.6.3.6](t=4, e=7)[(346)2; 3.6.3.6](t=4, e=7)[3342; (44)2](t=4, e=7)[(3342)2; 44](t=5, e=7)[3342; (44)2](t=3, e=6)[(3342)2; 44](t=4, e=6)[(3342)2; 324.3.4](t=5, e=8)[3342; (324.3.4)2](t=6, e=9)[36; (3342)2](t=5, e=7)[36; (3342)2](t=4, e=6)[(36)2; 3342](t=6, e=7)[(36)2; 3342](t=5, e=6)
4-однородные мозаики Существует 151 4-однородная мозаика евклидовой плоскости. Исследования Брайана Гейлбаха (Brian Galebach) воспроизвели список Кротенхирдта (Krotenheerdt) из 33 4-однородных мозаик с 4 различными видами вершин, 85 мозаик с 3 видами вершин и 33 мозаики с 2 видами вершин.
4-однородные мозаики, 4 вида вершин Существует 34 мозаики с 4 видами вершин. + 4-однородные мозаики с 4 видами вершин (33)[33434; 3262; 3446; 63][3342; 3262; 3446; 46.12][33434; 3262; 3446; 46.12][36; 3342; 33434; 334.12][36; 33434; 334.12; 3.122][36; 33434; 343.12; 3.122][36; 3342; 33434; 3464][36; 3342; 33434; 3464][36; 33434; 3464; 3446][346; 3262; 3636; 63][346; 3262; 3636; 63][334.12; 343.12; 3464; 46.12][3342; 334.12; 343.12; 3.122][3342; 334.12; 343.12; 44][3342; 334.12; 343.12; 3.122][36; 3342; 33434; 44][33434; 3262; 3464; 3446][36; 3342; 3446; 3636][36; 346; 3446; 3636][36; 346; 3446; 3636][36; 346; 3342; 3446][36; 346; 3342; 3446][36; 346; 3262; 63][36; 346; 3262; 63][36; 346; 3262; 63][36; 346; 3262; 63][36; 346; 3262; 3636][3342; 3262; 3446; 63][3342; 3262; 3446; 63][3262; 3446; 3636; 44][3262; 3446; 3636; 44][3262; 3446; 3636; 44][3262; 3446; 3636; 44]
4-однородные мозаики, 3 вида вершин (2:1:1) Существует 85 мозаик с 3 видами вершин. + 4-однородные мозаики (3:1)[3464; (3446)2; 46.12][3464; 3446; (46.12)2][334.12; 3464; (3.122)2][343.12; 3464; (3.122)2][33434; 343.12; (3464)2][(36)2; 3342; 334.12][(3464)2; 3446; 3636][3464; 3446; (3636)2][3464; (3446)2; 3636][(36)2; 3342; 33434][(36)2; 3342; 33434][36; 3262; (63)2][36; 3262; (63)2][36; (3262)2; 63][36; (3262)2; 63][36; 3262; (63)2][36; 3262; (63)2][36; (346)2; 3262][36; (3262)2; 3636][(346)2; 3262; 63][(346)2; 3262; 63][346; 3262; (3636)2][346; 3262; (3636)2][3342; 33434; (3464)2][36; 33434; (3464)2][36; (33434)2; 3464][36; (3342)2; 3464][(3464)2; 3446; 3636][346; (33434)2; 3446][36; 3342; (33434)2][36; 3342; (33434)2][(3342)2; 33434; 44][(3342)2; 33434; 44][3464; (3446)2; 44][33434; (334.12)2; 343.12][36; (3262)2; 63][36; (3262)2; 63][36; 346; (3262)2][(36)2; 346; 3262][(36)2; 346; 3262][(36)2; 346; 3636][346; (3262)2; 3636][346; (3262)2; 3636][(346)2; 3262; 3636][(346)2; 3262; 3636][36; 346; (3636)2][3262; (3636)2; 63][3262; (3636)2; 63][(3262)2; 3636; 63][3262; 3636; (63)2][346; 3262; (63)2][346; (3262)2; 3636][3262; 3446; (3636)2][3262; 3446; (3636)2][346; (3342)2; 3636][346; (3342)2; 3636][346; 3342; (3446)2][3446; 3636; (44)2][3446; 3636; (44)2][3446; 3636; (44)2][3446; 3636; (44)2][(3446)2; 3636; 44][(3446)2; 3636; 44][(3446)2; 3636; 44][(3446)2; 3636; 44][(3446)2; 3636; 44][(3446)2; 3636; 44][(3446)2; 3636; 44][(3446)2; 3636; 44][3446; (3636)2; 44][3446; (3636)2; 44][3446; (3636)2; 44][3446; (3636)2; 44][36; 3342; (44)2][36; 3342; (44)2][36; (3342)2; 44][36; 3342; (44)2][36; 3342; (44)2][36; (3342)2; 44][36; (3342)2; 44][36; (3342)2; 44][(36)2; 3342; 44][(36)2; 3342; 44][(36)2; 3342; 44][(36)2; 3342; 44]
4-однородные мозаики, 2 вида вершин (2:2) и (3:1) Существует 33 мозаики с 2 видами вершин, 12 с отношением типов плиток 2:2 и 21 с отношением (3:1). + 4-однородные мозаики (2:2)[(3464)2; (46.12)2][(33434)2; (3464)2][(33434)2; (3464)2][(346)2; (3636)2][(36)2; (346)2][(3342)2; (33434)2][(3342)2; (44)2][(3342)2; (44)2][(3342)2; (44)2][(36)2; (3342)2][(36)2; (3342)2][(36)2; (3342)2]