Неравенство Бишопа — Громова — теорема сравнения в римановой геометрии. Является ключевым утверждением в доказательстве теоремы Громова о компактностиБураго Ю. Д., Залгаллер В. А., Введение в риманову геометрию 1991, с. 320, (22.5).
Неравенство названо в честь Ричарда Бишопа и Михаила Громова.
Формулировка Пусть — полное n-мерное риманово многообразие с ограниченной снизу кривизной Риччи, то есть
для постоянной .
Обозначим через шар радиуса r вокруг точки p, определенный по отношению к римановой функции расстояния.
Пусть обозначает n-мерное модельное пространство. То есть — полное n-мерное односвязное пространство постоянной секционной кривизны . Таким образом, является n-сферой радиуса , если , или n-мерным евклидовым пространством, если , или пространством Лобачевского с кривизной .
Тогда для любых и функция
не возрастает в интервале .
Замечания При неравенство можно записать следующим образом
при .
Если r стремится к нулю, то соотношение приближается к единице, так что вместе с монотонностью это означает, что
Это неравенство иногда называется неравенством Бишопа; оно было доказано БишопомBishop, R. A relation between volume, mean curvature, and diameter. Amer. Math. Soc. Not. 10 (1963), p. 364.Bishop R.L., Crittenden R.J. Geometry of manifolds, Corollary 4, p. 256.
См. также Теорема Майерса
Примечания
Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия