Усечённый кубооктаэдр ТипПолуправильный многогранникГраньквадрат, шестиугольник, восьмиугольникГранейРёберВершинГраней при вершинеТелесный угол4-6:arccos(-sqrt(6)/3)=144°44’08"4-8:arccos(-sqrt(2)/3)=135°6-8:arccos(-sqrt(3)/3)=125°15’51"Точечная группасимметрииОктаэдрическая,[4,3], (432), порядок 24ДвойственныймногогранникГекзакисоктаэдрРазвёрткаС раскраскойграней Вершинная фигура Усечённый кубооктаэдр, усечённый кубоктаэдр — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 12 квадратными гранями, 8 гранями в виде правильного шестиугольника, 6 гранями в виде правильного восьмиугольника, 48 вершинами и 72 рёбрами. Поскольку каждая из граней многогранника имеет центральную симметрию (что эквивалентно повороту на 180°), усечённый кубооктаэдр является зоноэдром.
Другие названия Этот многогранник имеет несколько названий: Усечённый кубооктаэдр (Иоганн Кеплер) Ромбоусечённый кубооктаэдр (Магнус Веннинджер) Большой ромбокубооктаэдр ( ) Большой ромбокубооктаэдр (Питер Кромвель ) Общеусечённый куб (omnitruncated cube) или скос-усечённый куб (cantitruncated cube) ()
Название усечённый кубооктаэдр, данное первоначально Иоганном Кеплером, несколько вводит в заблуждение. Усечение кубооктаэдра путём отсечения углов (вершин) не позволяет получить эту однородную фигуру — некоторые грани будут прямоугольниками. Однако полученная фигура топологически эквивалентна усечённому кубооктаэдру и всегда может быть деформирована до состояния, когда грани станут правильными.
Альтернативное название — большой ромбокубооктадр — ссылается на тот факт, что 12 квадратных граней лежат в тех же плоскостях, что и 12 граней ромбододекаэдра, который двойственен кубооктаэдру. Ср. малый ромбокубооктаэдр.
Также существует с тем же именем — .
Декартовы координаты Декартовы координаты вершин усечённого кубооктаэдра, имеющего ребро длины 2 и имеющего центр в начале координат, являются перестановками чисел: (±1, ±(1+√2), ±(1+2√2))
Площадь и объём Площадь A и объём V усечённого кубооктаэдра с ребром длины a равны:
Рассечение Усечённый кубооктаэдр можно препарировать (вырезать части), превратив его в центральный ромбокубооктаэдр с 6 над первичными квадратными гранями, 8 над треугольными гранями и 12 кубами над вторичными квадратными гранями.
Препарированный усечённый кубооктаэдр может дать рода 5, 7 или 11, если удалить центральный ромбокубооктаэдр и либо квадратные купола, либо треугольные купола, или 12 кубов соответственно. Можно построить много других тороидов с меньшей степенью симметрии путём удаления подмножества этих компонент препарации. Например, удаление половины треугольных куполов создаёт тороид рода 3, который (при правильном выборе удаляемых куполов) имеет тетраэдральную симметрию.
+ Тороиды СтюартаРод 3Род 5Род 7Род 11
Однородные раскраски Существует только одна однородная раскраска граней этого многогранника, по одному цвету на каждый тип грани.
Существует 2-однородная раскраска тетраэдральной симметрией с раскраской шестиугольников в два цвета.
Ортогональные проекции Усечённый кубооктаэдр имеет две специальные ортогональные проекции в A и B плоскости Коксетера с и проективными симметриями, и множество симметрий можно построить, исходя из различных плоскостей проекции. + Ортогональные проекцииЦентрированы относительноВершиныРебра4-6Ребра4-8Ребра6-8Нормали к грани4-6ИзображениеПроективнаясимметрияЦентрированы относительноНормали кквадратуНормали квосьмигранникуКвадратнойграниШестиугольнойграниВосьмиугольнойграниИзображениеПроективнаясимметрия
Сферические мозаики Усечённый кубооктаэдр можно представить как сферическую мозаику и спроектировать на плоскость с помощью стереографической проекции. Эта проекция конформна, она сохраняет углы, но не сохраняет длины и площади. Прямые линии на сфере проецируются в круговые дуги на плоскости. квадрат-центрированнаяшестиугольник-центрированнаявосьмиугольник-центрированнаяОртогональная проекцияСтереографические проекции
Связанные многогранники Усечённый кубооктаэдр входит в семейство однородных многогранников, связанных с кубом и правильным октаэдром.
Этот многогранник можно считать членом последовательности однородных вершинных фигур со схемой (4.6.2p) и диаграммой Коксетера — Дынкина . Для p < 6 члены последовательности являются многогранниками (зоноэдрами), показанными ниже как сферические мозаики. Для p > 6 они являются мозаиками на гиперболической плоскости, начиная с .
Граф усечённого кубооктаэдра
В теории графов граф усечённого кубооктаэдра (или граф большого ромбокубооктаэдра) — это усечённого кубооктаэдра. Он имеет 48 вершин и 72 ребра, и является кубическим архимедовым графом .
Примечания
Литература
(Модель 15, стр. 29) (Секция 3-9, стр. 82)
Ссылки
3D convex uniform polyhedra Editable printable net of a truncated cuboctahedron with interactive 3D view The Uniform Polyhedra Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra great Rhombicuboctahedron: paper strips for plaiting
Категория:Однородные многогранники Категория:Архимедовы тела Категория:Усечённые мозаики