Число отрезков — инвариант узла, определяющий наименьшее число прямых «отрезков», которые, соединяясь конец к концу, образуют узел. Говоря более строго, числом отрезков геометрического узла называется число звеньев в минимальной по числу звеньев ломаной, лежащей в и объемлюще-изотопной геометрическому узлу . Данная функция на множестве всех геометрических узлов по определению постоянна на объемлюще-изотопических классах геометрических узлов, а значит можно говорить о числе отрезков как об инварианте узла. Число отрезков узла обозначается через .
Известные значения
Наименьшее число отрезков для нетривиального узла равно . Число отрезков, как и прочие меры сложности узлов, трудновычислимы, поэтому известно не так много точных значений. В 1997 году Гё Тэк Чин определил число отрезков торического узла для близких : , если , , если , , если .
Подобный результат, но для меньшей области параметров, примерно в то же время независимо получила исследовательская группа, возглавляемая . Им, например, удалось доказать, что: , если .
Если — произвольная связная сумма, состоящая из трилистников (не обязательно только левых или только правых), то: .
Оценки
Число отрезков связной суммы узлов ограничено сверху суммой чисел отрезков слагаемых, а более точно: .
Если и — взаимно простые целые числа, причем , то: .
Связанные инварианты Число отрезков узла связано с его числом перекрёстков следующим неравенством: .
Примечания
Литература
Ссылки
«Stick numbers for minimal stick knots», KnotPlot Research and Development Site.
Категория:Инварианты узлов