В теории узлов хиральный узел — это узел, который не эквивалентен своему зеркальному отражению. Ориентированный узел, эквивалентный своему зеркальному отражению, называется амфихиральным узлом или ахиральным узлом. Хиральность узла является инвариантом узла. Хиральность узлов можно далее классифицировать в зависимости от того, обратим он или нет.

Существует только 5 типов симметрий узлов, определяемых хиральностью и обратимостью — полностью хиральный, обратимый, положительно амфихиральный необратимый, отрицательно амфихиральный необратимый и полностью амфихиральный обратимый .

История вопроса Хиральность некоторых узлов давно подозревалась и доказана Максом Деном в 1914 году. П. Г. Тэт высказал гипотезу, что все амфихиральные узлы имеют чётное число пересечений, но в 1998 году нашёл контрпримерJablan, Slavik & Sazdanovic, Radmila. «History of Knot Theory and Certain Applications of Knots and Links », LinKnot.. Однако гипотеза Тэйта доказана для простых альтернированных узлов Accessed: May 5, 2013..

+ Число узлов каждого вида хиральности для каждого числа пересечений Число пересечений 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 OEIS sequence Хиральные узлы 1 0 2 2 7 16 49 152 552 2118 9988 46698 253292 1387166 N/A Двусторонние узлы 1 0 2 2 7 16 47 125 365 1015 3069 8813 26712 78717 A051769 Полностью хиральные узлы 0 0 0 0 0 0 2 27 187 1103 6919 37885 226580 1308449 A051766 Амфихиральные узлы 0 1 0 1 0 5 0 13 0 58 0 274 1 1539 A052401 Положительно амфихиральные узлы 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 6 0 65 A051767 Отрицательно амфихиральные узлы 0 0 0 0 0 1 0 6 0 40 0 227 1 1361 A051768 Полностью амфихиральные узлы 0 1 0 1 0 4 0 7 0 17 0 41 0 113 A052400

Простейший хиральный узел — трилистник, хиральность которого показал Макс Ден. Все торические узлы хиральны. Многочлен Александера не может определить хиральность узла, а вот многочлен Джонса в некоторых случаях может. Если Vk(q) ≠ Vk(q−1), то узел хирален, однако обратное не обязательно верно. Многочлен HOMFLY ещё лучше распознаёт хиральность, но пока не известно полиномиального инварианта узла, который бы полностью определял хиральность.

Двусторонний узел Обратимый хиральный узел называется двустороннимThree Dimensional Invariants Knot Atlas. Среди примеров двусторонних узлов — трилистник.

Полностью хиральный узел Если узел не эквивалентен ни своему обратному, ни своему зеркальному образу, он называется полностью хиральным, пример — узел 9 32.

Амфихиральный узел

Амфихиральный узел — это узел, имеющий автогомеоморфизм α 3-сферы, который обращает ориентацию и фиксирует узел как множество.

Все амфихиральные альтернированные имеют чётное число пересечений. Первый амфихиральный узел с нечётным числом пересечений, а именно с 15 пересечениями, нашёл Хосте (Hoste) и др.

Полная амфихиральность Если узел изотопен своему обратному и своему зеркальному образу, его называют полностью амфихиральным. Простейшим узлом с этим свойством является восьмёрка.

Положительная амфихиральность Если автогомеоморфизм α сохраняет ориентацию узла, говорят о положительной амфихиральности. Это эквивалентно изотопичности узла своему зеркальному отражению. Никакой из узлов с числом пересечений меньшим двенадцати не является положительно амфихиральным.

Отрицательная амфихиральность

Если автогомеоморфизм α обращает ориентацию узла, говорят об отрицательной амфихиральности. Это эквивалентно изотопичности узла обратному зеркальному отражению. Узел с этим свойством с минимальным числом пересечением — это 817.

Примечания

Литература

Категория:Теория узлов