Теория Калуцы — Клейна — одна из многомерных теорий гравитации, позволяющая объединить два фундаментальных физических взаимодействия: гравитацию и электромагнетизм. Теория была впервые опубликована в 1921 году немецким математиком Теодором Калуцей, который расширил пространство Минковского до 5-мерного пространства и получил из уравнений своей теории уравнения общей теории относительности и классические уравнения Максвелла. Обоснование ненаблюдаемости пятого измерения (его компактность) было предложено шведским физиком Оскаром Клейном в 1926 году.

Эта теория была одной из первых успешных теорий, положивших начало геометрической интерпретации калибровочных полей (а именно единственного хорошо известного на момент её создания, кроме гравитации, электромагнитного поля). Также была первой успешной теорией объединения, которая, хотя и не привела к экспериментально подтверждённым открытиям, но была внутренне непротиворечивой и идейно содержательной теорией, не противоречащей эксперименту.

Первоначальный вариант теории не включает других фундаментальных взаимодействий (сильного и слабого) не известных в то время, а также в ней не оказалось места для частиц с полуцелым спином. Но идея многомерных единых теорий поля с компактифицированными дополнительными пространствами нашла применение в современных теориях суперсимметрии, супергравитации и суперструн.

История Геометрический подход в физике заложили Р. Декарт, И. Кант и Г. Галилей. Долгое время понятие искривления пространства не могло возникнуть в науке из-за доминирования представлений об однородности пространства и времени, которое основывалось на пятой аксиоме Евклида и совпадало с повседневным опытом. Отказ от аксиомы параллельности прямых привёл Н. И. Лобачевского к открытию новой (неевклидовой) геометрии в пространстве с отрицательной кривизной. Б. Риман открыл другой тип неевклидовой геометрии с положительной кривизной, когда не существует ни одной параллельной прямой параллельной данной (геодезическая линий) проходящей через какую-либо точку не лежащую на данной прямой. Сферическая геометрия Римана описывает мир с конечным объёмом. У. Клиффорд предсказал некоторые следствия сферической геометрии, рассмотрел представления о мире ползающего по сфере жука и задал вопрос о геометрии нашей Вселенной, и её связи с физикой:

Существенным предположением Клиффорда была догадка о связи электрического поля с геометрией пространства. Но учёные, занимающиеся поиском геометрического описания мира не могли прийти к построению общей теории относительности до включения времени как одной из координат нашего пространства, что продвигалось в работах Х. Лоренца, А. Эйнштейна, Г. Минковского. В 1913 году М. Гроссман и А. Эйнштейн предположили, что гравитационное взаимодействие обусловлено искривлением 4-мерного пространства-времени. На рубеже 1915 и 1916 годов почти одновременно уравнения для гравитационного поля появились в работах А. Эйнштейна и Д. Гильберта.

Теоретическая физика описывает мир посредством математики, стремится найти универсальность в его законах. Ньютон заметил, что гравитация, которая действует на яблоко — это та же самая гравитация, которая управляет движением небесных светил. Сегодня известны четыре фундаментальных взаимодействия, и современная теория рассматривает возможность описать все взаимодействия единым образом посредством привлечения высших размерностей. В таком контексте квантовая теория поля в пятимерном пространстве (5D) — это естественное расширение общей теории относительности (ОТО) Эйнштейна.

Гуннар Нордстрём первым попытался объединить теорию гравитации с электромагнетизмом, привлекая пятое измерение, в 1914 году. Но в этом случае к электромагнитному векторному потенциалу была добавлена пятая компонента, представляющая собой ньютоновский гравитационный потенциал, так как его теория появилась раньше чем ОТО, и он не предполагал тензорную природу гравитационного потенциала, и позволяющая записать уравнения Максвелла в пяти измерениях.

Развитие пятимерной (5D) теории разделяют на три этапа. Первоначальная гипотеза принадлежит Теодору Калуце, который отправил свои результаты Эйнштейну в 1919 году и опубликовал их в 1921 году. Калуца представил чисто классическое расширение общей теории относительности на 5D с метрическим тензором из 15 компонент. 10 компонент отождествляются с четырёхмерной метрикой пространства-времени, четыре компоненты с электромагнитным векторным потенциалом и одна компонента с неидентифицированным скалярным полем, которое Калуца не рассматривал, иногда называемое «радионом» или «дилатоном». Соответственно, 5D уравнения Эйнштейна дают 4D уравнения Эйнштейна для поля, уравнения Максвелла для электромагнитного поля и уравнение для скалярного поля. Калуца также ввёл гипотезу «цилиндрического условия», согласно которой ни одна из компонент пятимерной метрики не зависит явным образом от пятой координаты. Без этого предположения появляются слагаемые, включающие производные полей по пятой координате, которые, как и скалярное поле, не наблюдаются в экспериментах. Эта дополнительная степень свободы такова, что уравнения поля с зависимостью от пятой координаты становятся невероятно сложными. Стандартная физика в 4D проявляется при наложении цилиндрического условия, а соответствующая математика приобретает более простую форму.

В 1926 году Оскар Клейн дал классической пятимерной теории Калуцы квантовую интерпретацию в соответствии с открытиями Гейзенберга и Шрёдингера. Кляйн выдвинул гипотезу о том, что пятое измерение свёрнуто и микроскопично, чтобы объяснить цилиндрическое условие, а циклическое движение в пятом измерении может естественным образом объяснить квантование заряда электрона. Клейн предположил, что геометрия дополнительного пятого измерения может иметь форму круга с радиусом . Клейн также внёс вклад в классическую теорию, предоставив должным образом нормализованную 5D-метрику. Работа над теорией поля Калуцы продолжалась в 1930-х годах Эйнштейном и его коллегами из Принстона.

Оригинальная теория Калуцы — Клейна рассматривается как неверная по нескольким причинам. В частности, компактификация пятого измерения приводит к выводу, что частицы, которые будут доминировать в мире, должны иметь планковские массы, что не наблюдается в эксперименте. Эта проблема известна как проблема иерархии масс. Игнорирование скалярного поля Калуцей также не оставляет способа объяснить наличие тёмной энергии в нашей Вселенной. Также, по мнению Эйнштейна, цилиндрическое условие, которое является причиной возникновения масс, исключает геометрическую интерпретацию масс.

В 1940-х годах классическая теория была завершена, и полные уравнения поля, включая скалярное поле, были получены тремя независимыми исследовательскими группами: Тири, работавший во Франции над диссертацией под руководством Лихнеровича; Йордан, Людвиг и Мюллер в Германии, с критическим вкладом Паули и Фирца; и Шеррер, работавший один в Швейцарии. Работа Йордана привела к скалярно-тензорной теории Бранса — Дике; Бранс и Дике, очевидно, не знали о Тири и Шеррере. Полные уравнения Калуцы с цилиндрическим условием довольно сложны, и большинство англоязычных обзоров, а также английские переводы Тири содержат некоторые ошибки. Тензоры кривизны для полных уравнений Калуцы были вычислены с использованием компьютерной системы тензорной алгебры в 2015 году, проверяя результаты Феррари и Кокеро и Эспозито-Фарезе. 5D ковариантная форма источника (тензора энергии-импульса) рассмотрена Уильямсом.

Гипотеза Калуцы В своей статье 1921 года Калуца использовал все элементы классической пятимерной теории: метрику, уравнения поля, уравнения движения, тензор энергии-импульса и цилиндрическое условие. Без использования свободных параметров он расширил общую теорию относительности до пяти измерений.

Начнём с гипотезы о форме пятимерной метрики. , где латинские индексы охватывают пять измерений. Также введём четырёхмерную метрику пространства-времени , где греческие индексы охватывают обычные четыре измерения пространства и времени; 4-вектор отождествляется с электромагнитным векторным потенциалом; и скалярное поле . Затем разделим 5D-метрику так, чтобы 4D-метрика была обрамлена электромагнитным векторным потенциалом со скалярным полем на пятой позиции в диагонали. Это можно представить как:

Точнее можно написать

где индекс указывает пятую координату по соглашению, тогда как первые четыре координаты имеют индексы 0, 1, 2 и 3. Соответствующая обратная метрика

Это разложение является довольно общим, и все члены безразмерны. Затем Калуца применяет к этой метрике аппарат стандартной общей теории относительности. Уравнения поля получены из пятимерных уравнений Эйнштейна, а уравнения движения — из пятимерной геодезической гипотезы. Полученные в результате уравнения поля дают уравнения как общей теории относительности, так и электродинамики; уравнения движения дают четырёхмерное уравнение геодезической и закон для силы Лоренца, и обнаруживается, что электрический заряд отождествляется с движением в пятом измерении.

Метрическая гипотеза подразумевает, что существует инвариантный пятимерный элемент длины :

Уравнения поля из гипотезы Калуцы Уравнения поля 5-мерной теории никогда не были правильно определены Калуцей или Клейном, потому что они игнорировали скалярное поле. Вывод полных уравнений поля Калуцы обычно приписываются Тири, который получил уравнения поля в вакууме. Калуца первоначально выписал тензор энергии-импулься для своей теории, и Тири включил тензор энергии-импульса в свою диссертацию. Но, как описал Гоннер, несколько независимых групп работали над уравнениями поля в 1940-х годах и ранее. Тири, возможно, наиболее известен только потому, что Эпплквист, Чодос и Фройнд опубликовали английский перевод его работы в их обзорной книге. Эпплквист и др. также опубликовали английский перевод статьи Калуцы. Работы Йордана не были переведены на английский язык. Первые правильные уравнения поля Калуцы на английском языке, включая скалярное поле, были получены Уильямсом.

Чтобы получить уравнения поля 5D, 5D символы Кристоффеля связности рассчитываются по метрике 5D , и 5D тензор Риччи рассчитывается из 5D символов Кристоффеля связности.

Классические результаты Тири и других авторов получены при использовании цилиндрического условия:

.

Без этого предположения уравнения поля становятся намного более сложными, приводя к гораздо большему количеству степеней свободы, которые можно отождествить с различными новыми полями. Пол Вессон и его коллеги пытались ослабить цилиндрическое условие, чтобы получить дополнительные члены, которые можно отождествить с полями материи, для которых Калуца вручную вставил тензор энергии-импульса.

Возражение к первоначальной идеи Калуцы заключалось в использовании пятого измерения, но без его динамики. Однако Тири утверждал, что интерпретация закона для силы Лоренца в терминах 5-мерной геодезической сильно противоречит существованию пятого измерения независимо от цилиндрического условия. Поэтому большинство авторов использовали цилиндрическое условие при выводе уравнений поля. Кроме того, обычно предполагаются уравнения вакуума, для которых

где

и

Уравнения вакуумного поля, полученные таким образом Тири и группой Йордана, выписаны ниже.

Уравнение поля для получается из

где , , и  — стандартная четырёхмерная ковариантная производная. Уравнение показывает, что электромагнитное поле является источником скалярного поля. Обратите внимание, что скалярное поле нельзя считать постоянным без наложения соответствующего ограничения на электромагнитное поле. В более ранних трактовках Калуцы и Клейна не было адекватного описания скалярного поля и не учитывалось возникающее ограничение на электромагнитное поле, в предположении постоянного скалярного поля.

Полевое уравнение для четырёхмёрного тензора Риччи получается из

Если скалярное поле постоянно, то оно имеет форму вакуумных уравнений Максвелла.

где  — стандартный 4D скаляр Риччи.