Преобразова́ния Ло́ренца — линейные (или аффинные) преобразования векторного (соответственно, аффинного) псевдоевклидова пространства, сохраняющие длины или, что эквивалентно, скалярное произведение векторов.

Преобразования Лоренца псевдоевклидова пространства сигнатуры находят широкое применение в физике, в частности, в специальной теории относительности (СТО), где в качестве аффинного псевдоевклидова пространства выступает четырёхмерный пространственно-временной континуум (пространство Минковского).

Преобразования Лоренца в математике Преобразование Лоренца представляет собой естественное обобщение понятия ортогонального преобразования (то есть преобразования, сохраняющего скалярное произведение векторов) с евклидовых на псевдоевклидовы пространства. Различие между ними состоит в том, что скалярное произведение предполагается не положительно определённым, а знакопеременным и невырожденным (так называемое индефинитное скалярное произведение).

Определение Преобразование Лоренца (лоренцево преобразование) псевдоевклидова векторного пространства  — это линейное преобразование , сохраняющее индефинитное скалярное произведение векторов. Это означает, что для любых двух векторов выполняется равенство

где треугольными скобками обозначено индефинитное скалярное произведение в псевдоевклидовом пространстве .

Аналогично, преобразование Лоренца (лоренцево преобразование) псевдоевклидова аффинного пространства — это аффинное преобразование, сохраняющее расстояние между точками этого пространства (это расстояние определяется как длина вектора, соединяющего данные точки, с помощью индефинитного скалярного произведения).

Общие свойства Так как любое аффинное преобразование является композицией параллельного переноса (очевидным образом сохраняющего расстояние между точками) и преобразования, имеющего неподвижную точку, то группа преобразований Лоренца аффинного пространства (группа Пуанкаре) получается из группы преобразований Лоренца векторного пространства (группа Лоренца) такой же размерности путём добавления к ней всевозможных параллельных переносов. Если в псевдоевклидовом векторном пространстве выбран некоторый базис , то для индефинитного скалярного произведения определена матрица Грама . Тогда матрица преобразования Лоренца удовлетворяет соотношению

И обратно, любая матрица , удовлетворяющая соотношению , является матрицей преобразования Лоренца. Всегда можно выбрать базис таким образом, что индефинитное скалярное произведение имеет вид

и в равенстве матрица ― диагональная с элементами (первые ) и (последние ). Из соотношения следует, что, как и в случае ортогонального преобразования, определитель или . Если подпространство инвариантно относительно лоренцева преобразования , то и его ортогональное (в смысле данного индефинитного скалярного произведения) дополнение тоже инвариантно относительно преобразования , причём . Однако, в отличие от ортогональных преобразований евклидовых пространств, равенство , где символ означает прямую сумму подпространств, вообще говоря, не имеет места (оба подпространства и могут содержать одни и те же ненулевые изотропные векторы, то есть , так как любой изотропный вектор ортогонален сам себе)Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. VII, § 8. — М.: Физматлит, 2009..

Свойства в пространствах сигнатуры (n-1, 1) Из равенства следует, что лоренцево преобразование переводит световой конус в себя, а также переводит в себя его внешность (в СТО — область абсолютно удалённого). Однако при этом две компоненты светового конуса, разделённые его вершиной (в СТО они ограничивают конус будущего и конус прошлого), могут либо переходить в себя, либо меняться друг с другом местами. Исходя из того, переставляет ли данное лоренцево преобразование части светового конуса, или оставляет их на месте, а также из знака определителя , группу Лоренца можно разделить на 4 части, которые являются её линейно связными компонентами (но подгруппой является лишь одна из них). Этот факт (наличие четырёх компонент связности) часто интерпретируют как наличие четырёх ориентаций псевдоевклидова пространства (в отличие от евклидова пространства, где есть только две ориентации).

Явный вид преобразований псевдоевклидовой плоскости Лоренцевы преобразования псевдоевклидовой плоскости можно записать в наиболее простом виде, используя базис , состоящий из двух изотропных векторов:

Именно, в зависимости от знака определителя , матрица преобразования в данном базисе имеет вид:

Знак числа определяет то, оставляет ли преобразование части светового конуса на месте , или меняет их местами .

Другой часто встречающийся вид матриц лоренцевых преобразований псевдоевклидовой плоскости получается при выборе базиса, состоящего из векторов и :

В базисе матрица преобразования имеет одну из четырёх форм:

где и  — гиперболические синус и косинус, а  — быстрота.

Явный вид преобразований пространства сигнатуры (n-1, 1) Лоренцевы преобразования -мерного псевдоевклидова пространства со скалярным произведением

описываются следующей теоремой.

Теорема 1. Для всякого лоренцева преобразования существуют такие инвариантные подпространства и , что ограничение скалярного произведения (1) на каждое из них невырождено и имеет место ортогональное разложение

причём подпространство со скалярным произведением (1) является евклидовым и .

Теорема 1 утверждает, что любое лоренцево преобразование псевдоевклидова пространства сигнатуры задаётся лоренцевым преобразованием псевдоевклидова пространства размерности 1 или 2 или 3 и ортогональным преобразованием евклидова пространства дополнительной размерности.

Лемма. Если , то инвариантное псевдоевклидово подпространство , в свою очередь, представимо в виде прямой суммы или

подпространств , попарно ортогональных и инвариантных относительно преобразования , за исключением одного единственного случая, когда преобразование имеет единственное собственное значение кратности 3 и единственный собственный вектор является изотропным: . В этом единственном случае инвариантное подпространство не разлагается в прямую сумму никаких подпространств, инвариантных относительно преобразования , а является трёхмерным корневым подпространством этого преобразования.

Теорема 1 вместе с леммой позволяют установить следующий результат:

Теорема 2. Для всякого лоренцева преобразования существует такой ортонормированный (относительно индефинитного скалярного произведения (1)) базис :

в котором матрица имеет блочно-диагональный вид с блоками следующих типов: порядка 1 с элементом , порядка 2 — матрица поворота евклидовой плоскости на угол , порядка 2 — матрица лоренцева преобразования псевдоевклидовой плоскости вида , порядка 3 — матрица лоренцева преобразования трёхмерного псевдоевклидова пространства с трёхкратным собственным значением и единственным собственным вектором, являющимся изотропным. При этом матрица может содержать не более одного блока, относящегося двум последним типам.

Кроме того, имеет место следующее представление лоренцевых преобразований -мерного псевдоевклидова пространства со скалярным произведением .

Теорема 3. Всякое лоренцево преобразование пространства со скалярным произведением представимо в виде композиции следующих линейных преобразований: ортогонального преобразования евклидова подпространства, заданного уравнением , с координатами , лоренцева преобразования псевдоевклидовой плоскости с координатами с некоторым , отражений вида , Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. — гл. II, § 14. — Любое издание..

Вывод из принципа причинности: теорема Александрова — Зеемана

Преобразования Лоренца могут быть получены не только из постулатов Эйнштейна, но и из более фундаментального принципа причинности. Фундаментальные результаты в этом направлении были получены А. Д. Александровым и независимо Э. К. Зиманом.

Формулировка теоремы

Пусть — взаимно однозначное отображение пространства Минковского на себя, сохраняющее отношение причинности:

где отношение означает, что событие может причинно влиять на событие , то есть интервал между ними времениподобен или светоподобен и направлен в будущее:

Тогда является преобразованием Лоренца с точностью до дилатации и трансляции:

где , — ортохронное преобразование Лоренца, — вектор сдвига.

Историческое развитие

1949—1953 — А. Д. Александров впервые показал, что преобразования Лоренца могут быть выведены из сохранения световых конусов.

1964 — Э. К. Зиман независимо доказал аналогичный результат.

1967—1976 — Александров обобщил теорему на случай локальных отображений областей пространства-времени и дал полную классификацию причинных автоморфизмов.

Физическая интерпретация

Теорема имеет глубокое физическое и философское значение:

Причинность как первичный принцип: преобразования Лоренца оказываются единственными преобразованиями, гарантирующими отсутствие причинных парадоксов.

Минимальность предположений: для вывода СТО достаточно одного требования сохранения причинно-следственных связей.

Геометрия из причинности: метрическая структура пространства-времени следует из его причинной структуры.

Значение

Теорема Александрова—Зеемана завершает программу обоснования специальной теории относительности на минимальных физических принципах, показывая, что причинная структура мира определяет его геометрию.

Преобразования Лоренца в физике Преобразованиями Лоренца в физике, в частности, в специальной теории относительности (СТО), называются преобразования, которым подвергаются пространственно-временные координаты каждого события при переходе от одной инерциальной системы отсчёта (ИСО) к другой. Аналогично, преобразованиям Лоренца при таком переходе подвергаются координаты любого 4-вектора.

Чтобы явно различить преобразования Лоренца со сдвигами начала отсчёта и без сдвигов, когда это необходимо, говорят о неоднородных и однородных преобразованиях Лоренца.

Преобразования Лоренца векторного пространства (то есть без сдвигов начала отсчёта) образуют группу Лоренца, а преобразования Лоренца аффинного пространства (то есть со сдвигами) — группу Пуанкаре, иначе называемую неоднородной группой Лоренца.

С математической точки зрения преобразования Лоренца — это преобразования, сохраняющие неизменной метрику Минковского, то есть, в частности, последняя сохраняет при них простейший вид при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой (другими словами, преобразования Лоренца — это аналог для метрики Минковского ортогональных преобразований, осуществляющих переход от одного ортонормированного базиса к другому, то есть аналог поворота координатных осей для пространства-времени). В математике или теоретической физике преобразования Лоренца могут относиться к любой размерности пространства.

Именно преобразования Лоренца, смешивающие — в отличие от преобразований Галилея — пространственные координаты и время, исторически стали основой для формирования концепции единого пространства-времени.

Следует заметить, что лоренц-ковариантны не только фундаментальные уравнения (такие, как уравнения Максвелла, описывающее электромагнитное поле, уравнение Дирака, описывающее электрон и другие фермионы), но и такие макроскопические уравнения, как волновое уравнение, описывающее (приближённо) звук, колебания струн и мембран, и некоторые другие (только тогда уже в формулах преобразований Лоренца под следует иметь в виду не скорость света, а какую-то другую константу — например, скорость звука). Поэтому преобразования Лоренца могут быть плодотворно использованы и в связи с такими уравнениями (хотя и в довольно формальном смысле, впрочем, мало отличающемся — в своих рамках — от их применения в фундаментальной физике).

Вид преобразований при коллинеарных (параллельных) пространственных осях Если ИСО движется относительно ИСО с постоянной скоростью вдоль оси , а начала пространственных координат совпадают в начальный момент времени в обеих системах, то преобразования Лоренца (прямые) имеют вид: